Занятие 1. Определения счетных и несчетных множеств. Определение мощности множеств. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора о множестве подмножеств. Теоремы о мощности множеств

Понятие мощности множеств введено основателем теории множеств

Г. Кантором (1878), который установил, что мощность множества действительных чисел с больше À₀, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.

Универсальным называют множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком. Например, множество планет Солнечной системы U = {Земля, Марс, Вене­ра, Юпитер, Сатурн, Уран, Плутон, Меркурий, Нептун}. Заме­тим, что понятие универсального множества четко не определе­но, т. е. некорректно. U можно включить в другое множество W, ионо тоже будет универсальным. Например, долго считалось, что множество действительных чисел М универсально (т. е. описывает всю математику), пока не открыли поле комплексных чисел С и надкомплексные числа и не поняли, что не существует универ­сального числового множества. Тем не менее там, где область объек­тов не выходит за рамки некоего множества, иногда бывает удоб­но оперировать с этим термином. Ведь ржаное поле — вселенная для мыши.

Равныминазывают два множества А и В, состоящие из одина­ковых элементов: А = В. Например, равны множества решений уравнений 4х- 8 = 16, х/15 = 2/5 и 5^Х-3 = 125, так как их решением является одно и то же число 6.

Равны множества букв, из которых составлены слова «навес» и «весна». Равны множества корней уравнения х² = 1 и множество М = {(-1)^k, k = 0, 1, 2, ...}. Поэтому задача «решить уравнение», знакомая с детства, в реальности означает «решить уравнение в каком-то множестве». Так, уравнение х² + 1 = 0 не имеет действи­тельных корней: {х| х² + 1 = 0, х М} = 0, но имеет два комплекс­ных корня х = i, х = - i: {х|х² + 1 = 0, х С} = {i, -i}.

Равенство двух множеств А и В означает также, что А В и В А. И наоборот, выполнение свойств A В и В А означает выполнение равенства А = В. Эти утверждения равносильны.

Число элементов множества А называется мощностьюмноже­ства и обозначается |А| или п(А). Так, мощность пустого множе­ства равна 0: n( ) = 0, а мощность множества планет Солнечной системы n(U) = 9 или |U| = 9.

Следующая формула позволяет найти мощность объединения нескольких множеств, если известны мощности каждого из них, а также мощности всех пересечений.

Формула включений и исключений:

|A |

В качестве упражнения решаем

Определите мощность множества:

А)

Г) состоящее из букв слова «перпендикулярные»

Д) состоящего из цифр 635252

Е) состоящего из цифр числа 1010111

Раздел 1. Множества и отображения.

Тема 1.2. Мощность множества.

Занятие 2. Решение задач на определение мощности множества и вида множества по его мощности

1. Заданы множества А={1, 2, 3, ... ,10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. Найти В / А, .

Решение задач на определение мощности множества и вида множества по его мощности.