Точечные оценки показателей безотказности и ремонтопригодности

Понятие точечной оценки в математической статистике вводится следующим образом. Пусть имеются результаты n наблюдений t₁, t₂,…, t_n над некоторой случайной величиной Т ( например, временем безотказной работы) с функцией распределения F (t, φ), причем параметр φ этого распределения неизвестен. Необходимо найти такую функцию = g(t₁, t₂,…, t_n), которую можно было бы рассматривать как оценку параметра φ. Для определения точечных оценок используются методы максимального правдоподобия ( см. п. 6), квантилей и моментов [8.3].

Приведем определение средней наработки на отказ (точечной оценки) - для плана NUN:

= , (8.1)

где t_i - время работы до отказа каждого из N изделий.

При числе N, равном 8 и более, и при значениях наработки до отказа - t_i, подчиняющихся экспоненциальному распределению, распределение случайной величины оценки с достаточной для практики точностью подчиняется нормальному распределению [8.1, 8.2]. Полученное из (8.1) значение является оценкой математического ожидания величины Т₁. Оценка среднеквадратического отклонения σˆ(Т₁) относительно его среднего значения равна:

σˆ(Т₁)= = σ(t)/ . (8.2)

Определим требуемое число испытаний – N. Известно ( см. п. 3.3.1), что для экспоненциального распределения среднеквадратическое отклонение σ(t) равно математическому ожиданию Т₁. Тогда из (8.2) имеем:

σˆ (Т₁) = Т₁/ , (8.3)

N = [Т₁/ σˆ(Т₁)]² . (8.4)

Пример. Определить число изделий N, которые необходимо поставить на испытания по плану NUN при условии, что допустимая ошибка в определении равна 20% от Т₁ с доверительной вероятностью 0.96. Предполагаемая наработка на отказ = 1000 ч.

Решение. Доверительная вероятность 0.96 при нормальном распределении искомой оценки соответствует отклонению , поэтому

2 ) = 0.2*1000 = 200 ч. ) = 100 ч. N = [1000/100]² = 100.

Для экспоненциального распределения времени безотказной работы системы при всех других планах испытаний ( см. рис. 8.2) точечная оценка средней наработки до отказа определяется так:

=S/n_Σ , (8.5)

где S – суммарная наработка всех систем за время испытаний, n_Σ – суммарное число отказов всех систем за время испытаний.

Оценка среднего времени восстановления ( 2.25), определяемая аналогично (8.1), также отвечает плану NUN. Оценки вероятности безотказной работы - - вероятности отказа, полученные согласно (2.2, 2.5), могут быть найдены по плану NUT.

Оценка интенсивности отказа при экспоненциальном законе распределения может быть определена через оценку средней наработки до отказа: = .

Например, при плане NUN

= .