Критерий ничтожно малой погрешности

Вопрос о том, какими составляющими при расчете погрешностей можно пренебрегать, возникает постоянно. Это связано с тем, что степень точности определения суммируемых погрешностей невысока, поэтому нет смысла суммировать те из них, которые имеют по сравнению с другими малые значения, "поскольку это не повысит точности суммарной погрешности. Пренебрежение малыми погрешностями позволит упростить вычисления при нахождении результирующей погрешности. Следовательно, необходимо установить критерий ничтожно малой погрешности, т.е. математическое правило, позволяющее исключать последнюю из расчета. Этот критерий также необходим при выборе класса точности образцового средства измерений в зависимости от класса точности поверяемого средства измерений.

Один из возможных вариантов определения критерия ничтожно малой погрешности состоит в том, что если одна величина больше другой на порядок, то ею можно пренебречь.

При сложении некоррелированных случайных составляющих суммируются их дисперсии (СКО). В случае двух составляющих суммарная случайная погрешность определяется по формуле

где s(D₁), s(D₂) — СКО первой и второй составляющих.

В соответствии с критерием, если дисперсия первой составляющей s²(D₁), больше дисперсии второй составляющей s²(D₂), более чем в 10 раз, то СКО s(D), суммарной случайной погрешности составит 1,05s(D₁). Следовательно, пренебрежение дисперсией второй составляющей по сравнению с дисперсией первой составляющей приводит к тому, что СКО суммарной случайной погрешности будет определено с ошибкой в 5%. Критерий ничтожно малой погрешности для СКО случайной погрешности запишется в виде s(D₁) > Ö10̅s(D₂) » 3s(D₂). Таким образом, погрешностью можно пренебречь, если ее СКО или доверительный интервал в 3 раза меньше, чем у оставляемых погрешностей.

Известен и другой подход к определению критерия ничтожной малости составляющих погрешности, рассмотренный в разд. 9.4.

Для погрешности средств измерений [58] предложен иной критерий существенности ее составляющих.

Пример 9.2. Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки РЗЗ, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса. Получены следующие результаты измерения R_i:145,44; 145,36; 145,43; 145,38; 145,44; 145,42; 145,41; 145,39; 145,40; 145,41; 145,45; 145,43; 145,46; 145,37; 145,48 мОм. Проведенные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:

• основной погрешности измерения измерителя Е7-14. Формулы для расчета этого значения приведены в таблице примера 9.1. При этом для данного магазина сопротивлений добротность Q = 0;

• дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих температур. Он равен удвоенному допускаемому значению основной погрешности.

Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлении контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены следующие результаты измерения R_oi: 48,30; 48,29; 48,28; 48,29; 48,28; 48,29; 48,29; 48,28; 48,30; 48,30; 48,30; 48,30; 48,31; 48,32; 48,30 мОм.

Требуется провести обработку результатов измерений. Найти суммарную погрешность измерения сопротивлений.

Суммарная погрешность измерения сопротивления складывается из случайной и систематической погрешностей. Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обусловленных:

• ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений;

• основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7-

Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:

Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной -42,295 мОм.

Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления проводов, равный D_0,95(R₀) = t_pS_o = 2,15×0,0029 = 0,0062 мОм, можно рассматривать двояко: как неисключенную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности. В любом случае, как это будет видно далее, ее значение столь мало, что согласно критерию ничтожно малой погрешности ею можно пренебречь.

После введения поправки получается исправленный ряд значений сопротивления R_Иi: 100,145; 100,065; 100,135; 100,085; 10ff,145; 100,125; 100,115; 100,095; 100,105; 100,115; 100,155; 100,135; 100,165; 100,075; 100,185 мОм.

Составляющая систематической погрешности, обусловленная основной погрешностью измерителя иммитанса Е7-14, рассчитывается по формуле

Здесь R̅_n — среднее арифметическое значений ряда неисправленных показаний измерителя иммитанса, равное 145,418 мОм. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная основной погрешностью Е7-14

Систематическая погрешность, обусловленная дополнительной погрешностью средства измерений,

Суммарная систематическая погрешность

при условии, что коэффициент k в используемой для расчетов формуле (9.6) определяется из табл. 9.1 для Р = 0,95.

Характеристики случайной составляющей находятся посредством статистической обработки исправленного ряда наблюдений. Среднее арифметическое значение сопротивления и его СКО, соответственно равны:

Считая распределение результатов измерений R. нормальным, по таблице из приложения 1 находим коэффициент Стьюдента для числа измерений n =15 и 0,95. Он равен t_p =2,15. В этом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности измерений

D_0,95(R̅) = t_pS_R̅ = 2,15×0,0088 = 0,0189мОм.

Случайные погрешности измерений исследуемого сопротивления и сопротивления подводящих проводов можно считать некоррелированными, так как измерения проводились в разное время. Поэтому суммарная случайная погрешность определится в соответствии со вторым уравнением в (9.15):

Из полученных данных видно, что систематическая погрешность значительно больше случайной, поэтому, согласно ГОСТ 8.207-76, последнюю можно не учитывать. Результат измерения запишется в виде R=100,l ± l,l мОм при Р = 0,95.

Контрольные вопросы

1. На чем основана теория расчетного суммирования погрешностей?

2. Как могут быть определены квантильные множители суммарной погрешности результата измерения?

3. Сформулируйте правила, по которым суммируются систематические погрешности.

4. Расшифруйте понятия коррелированных и некоррелированных случайных величин. Что считается границей между этими случайными величинами при их суммировании?

5. Каким образом суммируются коррелированные случайные величины?

6. По каким правилам суммируются некоррелированные случайные величины?

7. Как суммируются случайные и систематические погрешности? Какой нормативный документ регламентирует эти правила?

8. В чем состоит суть критерия ничтожно малой погрешности?