Обработка результатов прямых равноточных измерений

(Метод максимального правдоподобия)

Прямыми измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Равноточными (равнорассеянными) называются прямые независимые измерения постоянной величины, результаты которых могут рассматриваться как случайные, распределенные по одному и тому же закону.

Обычно считают, что распределение подчиняется нормальному закону, хотя это условие вовсе необязательное.

В неисправленные результаты наблюдения вводят поправки с целью устранения систематических погрешностей. Таким образом, получают исправленный результат наблюдения, не содержащий систематических погрешностей, с математическим ожиданием погрешности обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , и дисперсией погрешности обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru одинаковой для всех измерений (отсюда равноточность измерений).

Плотность распределения результатов каждого из измерений при нормальном законе распределения имеет вид:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Из данных условий найдем наилучшую оценку обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru .

Для этого применим метод максимального правдоподобия, который является одним из основных методов построения оценок неизвестного параметра в статистической теории оценивания.

Поскольку измерения независимы, то плотность распределения системы измерений обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru будет равна:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru .

Функция правдоподобия имеет вид:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Метод максимального правдоподобия рекомендует принять в качестве оценки обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru и обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru статистику обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , определяемую соотношением :

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Примечание: Статистикой называется функция от результата наблюдений, являющаяся случайной величиной. Примеры: оценка математического ожидания обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , оценка дисперсии обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , оценка СКО обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru .

Для нахождения максимума решают уравнения правдоподобия.

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Для нашего случая, подставляя в уравнения функцию правдоподобия, эти уравнения примут вид:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Решая, получим:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru ,

или

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Примечание: Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки метода максимального правдоподобия имеют особые обозначения.

Вторая производная функции правдоподобия по математическому ожиданию равна:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , откуда обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

или обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru , обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru .

Оценка СКО ряда наблюдений:

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru

Оценка СКО среднего арифметического (результата измерений):

обработка результатов прямых равноточных измерений - student2.ru .

Обратим внимание на формулы. Оценки стандартных отклонений СКО S в ряду наблюдений отличаются от «точных» стандартных отклонений σ , что вызвано использованием арифметического среднего вместо математического ожидания.

Наши рекомендации