Выражение суждения в виде формулы логики предикатов

Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами. Простым суждением называется суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях. В атрибутивных суждениях выражается наличие или отсутствие у предметов некоторых свойств. Например, "Иванов – спортсмен", "некоторые моря имеют пресную воду".

Все атрибутивные суждения можно разделить на типы и перевести на язык логики предикатов: "a есть P" – P(a) ; "Все S есть P" – "x(S(x)®P(x)) (общеутвердительное суждение); "Ни один S не есть P" – "x(S(x)®ØP(x)) (общеотрицательное суждение); "Некоторые S есть P" – $x(S(x)ÙP(x)); (частноутвердительное суждение); "Некоторые S не есть P"– $x(A(x)ÙØP(x)) (частноотрицательное суждение).

При переводе на язык логики предикатов надо руководствоваться правилом: если кванторная переменная связана квантором общности ("), то в формуле используется знак импликации ( ®), а если кванторная переменная связана квантором существования ($), то в формуле используется знак конъюнкции (Ù).

Пример 2.3.

Перевести на язык логики предикатов следующие суждения.

а) Андрей – студент.

Заменим имя " Андрей" символом "а" и введем предикат P(x) = "x – студент". Это суждение можно выразить формулой: P(а).

б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей.

Введем предикаты S(x) = "x – логическая функция"; P(x) = "x может быть задана таблицей". Это суждение можно выразить формулой: "x(S(x) ® P(x)).

в) Ни один человек не всеведущ.

Введем предикаты S(x) = "x – человек"; P(x) = "x всеведущ". Суждение можно выразить формулой: "x(S(x) ® ØP(x)).

г) Некоторые студенты были на конференции.

Введем предикаты S(x) = "x – студент"; P(x) = "x был на конференции". Суждение можно выразить формулой: $x(S(x) Ù P(x)).

д) Некоторые люди не умеют слушать.

Введем предикаты S(x) = "x – человек"; P(x) = "x умеет слушать". Суждение можно выразить формулой: $x(A(x) Ù ØP(x)).

Суждения об отношениях выражают отношения между объектами. При переводе этих суждений в формулы используют многоместные предикаты и рассмотренные правила. При переводе отрицаний суждений на язык формул применяется правило переноса квантора через знак отрицания и другие равносильные преобразования.

Пример 2.4.

Суждение "Некоторые студенты сдали все экзамены" записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

Введем предикаты: A(x) = "x – студент"; B(y) = "y – экзамен", C(x, y) =
"x сдал экзамен y". Тогда предложение "Некоторые студенты сдали все экзамены" можно записать в виде следующей формулы:

$x"y(A(x)ÙB(y) ® C(x, y)).

Построим отрицание этой формулы, применяя равносильные преобразования:

Ø$x"y(A(x)ÙB(y)®C(x, y))) º "x$y(Ø(A(x)ÙB(y) ®C(x, y))º

º "x$y(A(x)ÙB(y)Ù ØC(x, y)).

Это предложение можно прочитать следующим образом:

"Каждый студент не сдал хотя бы один экзамен".

Задания

1. Данную формулу логики предикатов привести к предваренной нормальной форме.

2. Данное суждение записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

Варианты индивидуальных заданий

Вариант № 1

1. "x(P(x)ÙR(x)®$yQ(x,y)).

2. Не всякое действительное число является рациональным.

Вариант № 2

1. "x(P(x)®(R(x)((yQ(x,y)).

2. Каждый студент выполнил хотя бы одну практическую работу.

Вариант № 3

1. "xP(x)®$yP(y))Ú"z$xR(x, z).

2. Ни одно четное число, большее 2, не является простым.

Вариант № 4

1. "x ($y(ØP(x)ÙQ(y))® R(y, z)).