Запись сложного высказывания в виде формулы логики высказываний

Если имеется несколько высказываний, то при помощи логических операций можно образовывать различные новые высказывания. При этом исходные высказывания принято называть простыми, а вновь образованные высказывания – сложными.

Пример 1.10.

Рассмотрим простые высказывания:.

A = "Будет холодное лето".

B = "Будет дождливое лето".

C = "Будет засушливое лето".

D = "Будет хороший урожай".

Формула (A&B Ú C) É ØD соответствует сложному высказыванию:

''Если будет холодное и дождливое или засушливое лето, урожай будет плохим".

Язык логики высказываний удобен для записи математических утверждений. Всякая теорема имеет вид импликации: А É B (прямая теорема); B É А (обратная теорема); ØB É ØА (противоположная теорема).

Пример 1.11.

A = “Треугольник прямоугольный”.

B = “Квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон”

А É B (прямая теорема) = “Если треугольник прямоугольный, то квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон”.

B É А (обратная теорема) = “Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный”.

ØB É ØА (противоположная теорема) = “Если квадрат одной стороны не равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник не прямоугольный”.

В данном случае все три теоремы верны.

Равносильность А É B º ØB É ØА есть основание метода доказательства от противного. Например, для доказательства теоремы : “Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны” (А É B) достаточно доказать теорему: “Если углы при основании не равны, то треугольник не равнобедренный” (ØB É ØА).

Используя равносильные преобразования, можно получать различные формулировки одного и того же суждения, а также отрицаний суждений.

Пример 1.12.

Дано высказывание “Если политик обещает невыполнимое, то он обманывает людей”:

а) записать его в виде формулы логики высказываний;

б) произвести отрицание данного высказывания, так, чтобы результат не содержал внешних знаков отрицания; полученную при этом формулу записать на естественном языке.

Введем следующие высказывания:

A = ”Политик обещает невыполнимое”.

B = “Политик обманывает людей”.

Данное нам высказывание может быть записано в виде формулы: АÉB.

Построим отрицание высказывания, воспользовавшись равносильностью 12:

Ø(АÉB) ºA&ØB.

На естественном языке это может быть выражено следующим образом:

“Политик обещает невыполнимое, но он не обманывает людей”.

Нормальные формы

В алгебре высказываний используют две нормальные фор­мы: дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы формулы(ДНФ и КНФ).

ДНФ формулы есть формула, равносильная исходной формуле логики высказыванийи записанная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций переменных, т.е.

F = K₁Ú K₂Ú K₃Ú . . ., где K_i = A&B&C& . . ..

КНФ формулы есть формула, равносильная исходной формуле логики высказываний и записанная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций переменных, т.е.

F = D₁ & D₂ & D₃ & . . . , где D_i = AÚBÚCÚ . . ..

Наибольшее распространение в логике высказываний по­лучили формулы вида КНФ, элементарные дизъюнкции которых D_i принято называть дизъюнктами, а члены каждого дизъюнкта A, B, C – атомами.

Пример 1.13.

Указать, в каких нормальных формах находятся следующие формулы логики высказываний.

a) A – ДНФ и КНФ

b) (AÚB)&C – КНФ

c) A Ú ØBÚ ØC – ДНФ и КНФ

d) (AÚB)&( ØAÚC) – КНФ

e) AÚB&C – ДНФ

f) A& ØB& ØC – ДНФ и КНФ

g) A&B Ú ØA&C – ДНФ

Для каждой формулы логики высказываний функции F имеется равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

Алгоритм приведения формул логики высказываний к ДНФ (КНФ).

Шаг 1. Все подформулы F вида A É B (т.е. содержащие импликацию) заменяем на ØAÚB или на Ø(A&ØB) (в соответствии с равносильностью 12 раздела 1.3).

Шаг 2. Все подформулы F вида A ~ B (т.е. содержащие эквивалентность) заменяем на (A&B) Ú (ØA&ØB) или на (AÚØB)&(ØAÚB) (в соответствии с равносильностью 13).

Шаг 3. Все отрицания, стоящие над сложными подформулами, опускаем по законам де Моргана (в соответствии с равносильностями 4, 19, 20).

Шаг 4. Устраняем все двойные отрицания над формулами (в соответствии с равносильностью 8).

Шаг 5. Осуществляем раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции для ДНФ (в соответствии с равносильностями 3а и 17) или по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции для КНФ (в соответствии с равносильностями 3б и 18).

Шаг 6. Для получения более простой формулы целесообразно использовать равносильности 5, 6, 7, 9, 10, 11.

Пример 1.14.

Дана формула F = Ø(A&B)&(AÚB).

Привести формулу к виду ДНФ:

1) F = (ØAÚØB)&(AÚB);

2) F = (ØA&A) Ú (ØA&B) Ú (ØB&A) Ú (ØB&B);

3) F = (ØA&B) Ú (ØB&A).

Пример 1.15.

Дана формула F = (A É (BÚØC)) É D.

Привести формулу к виду КНФ:

1) F = (ØAÚ(BÚØC)) ÉD ;

2) F = Ø(ØAÚ(BÚØC))ÚD ;

3) F = (A&(ØB)& C)ÚD ;

4) F = (AÚD)&(ØBÚD)&(CÚD).

Если каждая элементарная конъюнкция (или элементарная дизъюнкция) формулы содержат символы всех переменных, то такая формула называется совершенной. Есть совершенные дизъюнктивные нормальные формы формулы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы формулы (СКНФ).

Пример 1.16.

Указать, в каких нормальных формах находятся формулы логики высказываний трех переменных.

a) X&Y&Z – СДНФ и КНФ;

b) ØX&Y&Z Ú X&Y&ØZ – СДНФ;

c) XÚYÚZ – СКНФ и ДНФ;

d) X&Z – ДНФ и КНФ;

e) (ØXÚYÚZ)& (XÚYÚØZ) – СКНФ;

f) XÚYÚZ – СКНФ и ДНФ;

g) (XÚY)&(XÚØZ) – КНФ.

Каждая формула, не равная тождественно Л, может быть приведена к СДНФ, которая является единственной с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Каждая формула, не равная тождественно И, может быть приведена к СКНФ, которая является единственной с точностью до перестановки конъюнктивных членов.

Алгоритм приведения формулы булевой функции к СДНФ

Шаг 1. Используя алгоритм построения ДНФ, находим формулу F, являющуюся ДНФ данной формулы.

Шаг 2. Если в элементарную конъюнкцию K_i формулы F не входит ни переменная A, ни ее отрицание A, то на основании 1- го закона расщепления (равносильность 7а) заменяем K_i на (K_i & A ) Ú (K_i &ØA).

Шаг 3. В каждой элементарной конъюнкции переставляем конъюнктивные члены так, чтобы для каждого i (i = 1, ..., n) на i-ом месте была либо переменная A_i, либо ее отрицание ØA_i.

Шаг 6. Устраняем возможные повторения конъюнктивных членов согласно закону идемпотентности для дизъюнкции: K_i Ú K_i º K_i .

Пример 1.17.

F = A&ØBÚA&ØC&DÚA&B&C&ØD.

Преобразовать формулу к виду СДНФ:

1) F = A&ØB&CÚA&ØB&ØCÚA&B&ØC&DÚA&ØB&ØC&DÚ A&B&C&ØD;

2) F = (A&ØB&C&D)Ú(A&ØB&C&ØD)Ú(A&ØB&ØC&D)Ú(A&ØB&ØC&ØD)Ú (A&B&ØC&D)Ú (A&ØB&ØC&D)Ú (A&B&C&ØD).

Алгоритм нахождения СКНФ полностью повторяет алгоритм нахождения СДНФ, если произвести двойственную замену & на Ú и Ú на &.

Пример 1.18.

F = (AÚB)) &(ØAÚØBÚCÚD).

Преобразовать формулу к виду СКНФ:

1) F = (AÚBÚC) &(AÚBÚØC) &(ØAÚØBÚCÚD);

2) F = (AÚBÚCÚD)&(AÚBÚCÚØD)&(AÚBÚØCÚD) &(AÚBÚØCÚØD) &(ØAÚØBÚCÚD).

Совершенные нормальные формы удобно записывать, используя таблицы истинности, по значениям переменных и значению логической функции.

Алгоритм представления логической функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ.

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A _n, для которых значение F равно И.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию переменных, причем в эту конъюнкцию переменная A_i записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “И” и со знаком отрицания (т. е ØA_i), если ее значение равно “Л”.

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Для получения формулы в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм представления логической функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A _n, для которых значение F равно Л

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию переменных, причем в эту дизъюнкцию переменная A_i записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “Л” и со знаком отрицания (т. е ØA_i), если ее значение равно “И”.

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится формула данной функции в СКНФ.

Пример 1.19.

Записать СДНФ и СКНФ для функции, заданной таблицей истинности (таблица 1.6):

Таблица 1.6

А B C	F(A,B,C)
Л Л Л Л Л И Л И Л Л И И И Л Л И Л И И И Л И И И	И Л Л И И Л Л И

a) Формула СДНФ:

F(A,B,C) = ØА&ØB&ØC Ú ØА&B&ØC Ú А&ØB&ØC Ú А&B&C;

b) Формула СКНФ:

F(A,B,C) = (AÚBÚØC) &(AÚØBÚC) & (ØAÚBÚØC) &(ØAÚØBÚC).

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2ⁿ, то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p, а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q, то p+q=2ⁿ.

Так, для функции, рассмотренной в примере 1.19, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 2³.