Расчет параметров аналитической кривой обеспеченности трехпараметрического гамма – распределения

Для расчетов ординат аналитической кривой обеспеченности существуют три метода: метод моментов, метод наибольшего правдоподобия и графоаналитический метод. Рассмотрим каждый из них.

· Метод моментовзаключается в том, что искомые параметры распределения выражаются через статистические моменты ряда наблюдений. Когда члены ряда располагаются симметрично относительно среднего значения, разные по величине положительные и отрицательные отклонения от среднего повторяются одинаково часто. Если положительные отклонения (многоводные годы) повторяются реже, чем отрицательные, то ассиметрия будет положительной. В противном случае наблюдается отрицательная ассиметрия.

Коэффициент вариации определяется по формулам:

при n > 30 лет; (10)

при n < 30 лет. (10а)

Коэффициент ассиметрии:

при n > 30 лет; (11)

при n < 30 лет. (11а)

Порядок выполнения расчета:

Вспомогательные расчеты для определения C_v и C_s приведены в табл.1.

Для р.Алей – с.Староалейское:

= ,

= .

Среднеквадратическая ошибка определения С_v находится по формуле:

_, (12) .

Среднеквадратическая ошибка определения С_s находится по формуле:

, (13)

При расчете коэффициента вариации C_v и коэффициента ассиметрии C_s допустимое значение среднеквадратической ошибки составляет 10-15 %.

· Метод наибольшего правдоподобиязаключается в том, что в качестве оценки для неизвестного параметра принимают такое его значение, при котором функция правдоподобия (произведение вероятностей наблюдаемых величин) достигает наибольшего возможного значения.

Согласно данного метода, коэффициент вариации С_v и соотношение коэффициента ассиметрии к коэффициенту вариации C_s/С_v определяется по номограммам (Приложение 2) в зависимости от статистик λ₂ , λ₃. Номограммы разработаны применительно к трехпараметрическому гамма-распределению.

Порядок выполнения расчета:

а) Вспомогательные расчеты для определения статистик λ₂ и λ₃ приведены в табл.1.

= , (14)

. (14а)

По номограммам находим : C_v = 0,3; C_s = 3,5C_v = 1,08.

б) Определяем среднеквадратическую ошибку нахождения С_v и C_s;

,

в) Сравниваются расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения в таблице 2.

Таблица 2

Расчеты параметров аналитической кривой трех-параметрического гамма распределения

метод определения	εСv	ε Cs
- моментов	13,9	18,5
-наибольшего правдоподобия	13,9	15,3

г) Окончательно для расчетов ординат аналитической кривойпринимается тот вариант, где ошибки имеют наименьшее значение. В нашем случае это метод наибольшего правдоподобия: C_v = 0,31; C_s = 1,08; Q_o = 19,2 м³/с.

· Графоаналитический методприменяется при использовании биноминальной кривой распределения и заключается в том, что параметры аналитической кривой обеспеченности определяются в зависимости от ординат сглаженной «на глаз» эмпирической кривой обеспеченности, соответствующих заданным вероятностям превышения Р₁ =5%, Р₂ = 50% и Р₃ = 95%.

Порядок выполнения расчета:

а) По эмпирической кривой (рис. 1) выбираются значения: Q_5%, = 32,4 м³/с; Q_50% = 18,0 м³/с; Q_95% = 10,0 м³/с.

б) По этим значениям вычисляют коэффициент скошенности биноминальной кривой обеспеченности:

= . (15)

в) По таблице (Приложение 3) по значению коэффициента скошенности (S) определяем С_s, Ф_5%, Ф_50%, Ф_95% , Ф – нормированное отклонение ординаты кривой обеспеченности:

С_s = 1,30; Ф_5% = 1,92; Ф_50% = -0,21; Ф_95% = -1,2.

г) Коэффициент вариации Cv находится по формуле:

C_v = σ_Q/Q_ср , (16)

где σ_Q -среднеквадратичное отклонение.

δ_Q = . (17)

Q_ср – среднемноголетний расход воды, определенный графоаналитическим способом:

Q_ср = Q_50% - δ_Q Ф_50% = 18,0 – 7,18 (-0,21) = 19,51 м³/с , (18)

находим С_v= δ_Q /Q_ср = 7,18/ 19,515 = 0,37.

д) Среднеквадратическая ошибка нахождения С_v определяется по формуле (12):

_{, .}