Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Лекция 23. Распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Равномерное распределение.

Определение 23.1. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , если на интервале Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , которому принадлежат все возможные значения Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , плотность сохраняет постоянное значение: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , вне этого интервала Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.

Пример 23.1. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru имеет равномерное распределение.

Решение. Найдем плотность равномерного распределения Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , считая, что все возможные значения СВ заключены в интервале Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , на котором функция Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru сохраняет постоянные значения.

По условию, Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru не принимает значений вне интервала Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , поэтому Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru при Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Найдем постоянную Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . Так как все возможные значения СВ принадлежат интервалу Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , то должно выполняться соотношение Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru или Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Откуда: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru

График плотности равномерного распределения изображен на рисунке 23.1.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru

Нормальное распределение.

Определение 23.2. Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое описывается плотностью

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . (23.1)

Так как нормальное распределение определяется двумя параметрами: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , то достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. При этом вероятностный смысл этих параметров таков: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru есть математическое ожидание, Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru – среднее квадратическое отклонение.

Замечание 1.Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . Нормированным называют распределение с параметрами Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , при этом плотность нормированного распределения имеет вид: Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Замечание 2.Функция Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru общего нормального распределения имеет вид:

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ,

а функция нормированного распределения Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Замечание 3.Вероятность попадания нормированной нормальной величины Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru в интервал Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru можно найти, пользуясь функцией Лапласа Ф Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru (§ 20.12). Действительно,

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru Ф Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Отметим также, что Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru Ф Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Замечание 4.Вероятность того, что Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru примет значение, принадлежащее интервалу Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru равна:

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru Ф Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru – Ф Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . (23.2)

Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). При этом:

1) функция Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru определена на всей оси Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ;

2) при всех значениях Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ;

3) ось Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru служит горизонтальной асимптотой графика функции, т.к. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ;

4) функция имеет максимум, равный Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ;

5) график функции симметричен относительно прямой Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , т.к. разность Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru содержится в аналитическом выражении функции в квадрате;

6) точки графика Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru являются точками перегиба.

Нормальная кривая при Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru изображена на рисунке 23.2.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Известно, что графики функций Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru имеют одинаковую форму; сдвинув график Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru в положительном направлении оси Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru на Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru единиц масштаба при Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru или в отрицательном направлении при Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru , получим график Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . Отсюда следует, что изменение величины параметра Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru : вправо, если Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru возрастает, и влево, если Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru (среднее квадратическое отклонение). Как уже было указано, максимум функции нормального распределения равен Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru . Отсюда следует, что с возрастанием Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru ; при убывании Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru .

Заметим, что при Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru и Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru нормальную кривую Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. - student2.ru называют нормированной.

Наши рекомендации