Векторы. действия над векторами. скалярное

ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ,

ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

ВЕКТОРЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Основные определения.

Определение 1.Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru или векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru – точка А – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модульвектора – это длина отрезка AB.

Определение 4.Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Определение 5.Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6.Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru и векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма).

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

Рис.1.

Опр. 7.Суммойтрех векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Опр. 8.Если А, В, С – произвольные точки, то векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru (правило треугольника).

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

рис.2

Свойства сложения.

1о. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru (переместительный закон).

2о. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + ( векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) = ( векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = ( векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru (сочетательный закон).

3о. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + (– векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Вычитание векторов.

Опр. 9.Подразностью векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru и векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru понимают вектор векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru такой, что векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru на скаляр k называется вектор

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1. совпадает с направлением вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , если k > 0;

2. противоположно направлению вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , если k < 0;

3. произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1о. (k + l) векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + l векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

k( векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) = k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

2o. k(l векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru ) = (kl) векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

3o. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , (–1) × векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = – векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , 0 × векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Свойства векторов.

Опр. 11.Два вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru и векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru и векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е.

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = k векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru + l векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , k ,l– скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3.Проекция вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = a × cos a, a = Ð( векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , l).

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

рис.3.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Опр. 13. Проекции вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru {ax,ay, az}.

Длина вектора: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

Пример:Вычислить длину вектора векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Решение: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

Расстояние между точками векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru и векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru вычисляется по формуле: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Пример:Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

Базис системы векторов.

Определение.Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространствуR.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru

Определение. Любой вектор вида векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru = векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru называется линейной комбинацией векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru . Числа векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru - коэффициентами линейной комбинации.

Пример. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Определение. Если вектор векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru является линейной комбинацией векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , то говорят, что вектор векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru линейно выражается через векторы векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru линейно-зависима, т. к. вектор векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru : векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

2. В системе векторов векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru базисом являются векторы: векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru , т.к. векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru линейно выражается через векторы векторы. действия над векторами. скалярное - student2.ru .

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ,

Наши рекомендации