Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Особые случаи:

Если векторы и заданы своими координатами: и то скалярное произведение вычисляется по формуле

Угол между векторами выражается следующим образом:

В координатной форме

Пример 3.

Найти угол между векторами и , если и

Решение:

Обозначим: .

Ответ:

Введение в теорию пределов функций

Определение: число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство .

Обозначение: .

Основные свойства пределов:

Функция f(x) называется непрерывнойв данной точке a, если выполняется равенство

Замечательные пределы:

1. – первый замечательный предел.

2. – второй замечательный предел.

3. – третий замечательный предел.

Техника вычисления пределов

Пример 1.

Найти .

Решение.

Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:

.

Ответ: –8.

Пример 2.

Найти

При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:

,

и сократим дробь на выражение (х – 2), предел которого при равен 0.

Тогда

.

Ответ: 7.

Пример 3.

Найти .

Решение:

Непосредственно подстановкой убеждаемся, что выражение обращается в неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель на множители:

и сократим дробь на выражение (х + 1). Таким образом

.

Ответ: ¥.

Пример 4.

Найти: .

Решение:

При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда

.

Поскольку , то .

Ответ: 2.

Пример 5.

Найти:

Решение.

Непосредственно подстановкой имеем неопределенность .

Раскроем неопределенность, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю дроби:

.

Тогда

Ответ: 4.

Пример 6.

Найти:

Решение:

Найдем пределы, используя первый замечательный предел

Таким образом: .

Замечание:

, так как если , то .

Значит

Ответ:

Пример 7.

Найти: .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду ,
и используем второй замечательный предел

Если , то . Значит:

Ответ: .

Дифференциальное исчисление

По данной теме сначала изучите главу 6 §6.1-6.9 учебника [ 1] или главу 1 §1.1-1.11 учебника [ 2]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Производная функции

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Справедливы следующие правила:

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Основные формулы дифференцирования:

Пример 1. Найти значение производной функции f(x) в точке ,

если .

Решение.

Функция f(x) представляет собой алгебраическую сумму двух функций:

Следовательно: по правилу 2.

Функция p(x) есть композиция логарифмической и тригонометрической функций, а значит, по правилу 5

Функция q(x) есть композиция степенной и тригонометрической функций, следовательно, по правилам 1, 5

Таким образом:

при

Ответ: .

Пример 2. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀ = 2, если .

Решение:

Функция f(x) представляет собой произведение двух функций: .

Следовательно, по правилу 3 .

Согласно правилу 2, .

Функция q(x) есть композиция функций: логарифмической и линейной, так как

При преобразовании функции q(x) были использованы свойства степени и свойства логарифма.

Таким образом:

по правилам 1, 5.

Найдем :

.

При x₀ = 2

Ответ: