Собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования.
Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
A .
При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .
Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:
;
в некотором базисе .
Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .
или
Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.
Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.
Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.
Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.
Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.
Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направлениеили собственную прямую.
Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .
Запишем линейное преобразование в виде:
Составим характеристическое уравнение:
l2 - 8l + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;
Для корня l1 = 7:
Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.
Для корня l2 = 1:
Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .
Запишем линейное преобразование в виде:
Составим характеристическое уравнение:
l2 - 4l + 4 = 0;
Корни характеристического уравнения: l1 = l2 = 2;
Получаем:
Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.
Собственный вектор можно записать: .
Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то
,
где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.
Если матрица линейного преобразования А имеет вид:
, то
Характеристическое уравнение:
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.
Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .
Составим характеристическое уравнение:
(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0
(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0
(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0
4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0
-l3 + 7l2 – 36 = 0
-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0
-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0
(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0
Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;
1) Для l1 = -2:
Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;
Собственные векторы:
2) Для l2 = 3:
Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;
Собственные векторы:
3) Для l3 = 6:
Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;
Собственные векторы:
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .
Составим характеристическое уравнение:
-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0
-(3 + l)(2 - l - 2l + l2 - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0
-(3 + l)(l2 - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0
-3l2 + 9l - l3 + 3l2 - 8l = 0
-l3 + l = 0
l1 = 0; l2 = 1; l3 = -1;
Для l1 = 0:
Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2
Собственные векторы ×t, где t – параметр.
Аналогично можно найти и для l2 и l3.
Квадратичные формы.
Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2
Ф(х1, х2) = а11 ,
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2.
Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.
Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.
Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.
Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11 , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.