Вывод и определение понятия «система объектов одного и того же рода». Закон системности. Алгоритм построения системы объектов данного рода

Комбинация (1) (4) (2) (3) — «существует единство множества объектов единых» — означает и «существует объект-система». Но «существует» значит, покоится или изменяется. Покой объекта-системы можно рассматривать как его непрерывный переход (во времени) в себя, а логически — как тождественное преобразование. Впервые это преобразование как системное было эк­сплицировано А. В. Маликовым. Изменение же объекта-систе­мы всегда приводит к переходу его по определенным законам в один или большее число других объектов-систем. Последние в свою очередь превращаются в третьи, третьи — в четвертые объекты-системы и т. д. Причем если учесть, что движение абсолютно, а покой относителен, то естественно признать такие превращения неизбежными. Возникающие таким способом объекты-системы могут оказаться качественно одинакового или (и) разного рода.

Определение 2. Система объектов данного (i-ro) рода — это в сущности закономерное множество объектов-систем одного и того же рода. Причем выражение «одного и того же, или «данного, рода» означает, что каждый объект-система обладает общими, родовыми признаками (одним и тем же качеством), а именно: каждый из них построен из всех или части фиксиро-ианных «первичных» элементов m множества {М_i⁽⁰⁾} в соответствии с частью или со всеми фиксированными отношениями r мно­жества {R_i}, с частью или со всеми фиксированными законами композиции z множества {Z_i}, реализованными в рассматривае­мой системе объектов данного рода. Как для объекта-системы, так и для системы объектов одного и того же рода множества {Z_i}; {Z_i} и {R_i}; {Z_i}, {R_i} и {М_i⁽⁰⁾} могут быть пустыми или содержать от одного до бесконечного числа элементов.

Весьма наглядным примером системы объектов одного и того же рода являются предельные углеводороды СН₄, С₂Н₆, С₃Н₈, ..., С_S-1H_2(S-1)+2, C_SH_2S+2: все они построены из одних и тех же «первичных» элементов С и Н в соответствии с одним и тем же отношением химического сродства и согласно одному и тому же закону композиции вида С_nН_2n+2 (n = 1, 2, 3, .... S).

Примерами систем объектов тех или иных родов могут слу­жить и системы точечных, линейных, плоских, пространственных (классических и неклассических) групп симметрии, системы чисел натурального ряда, периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева, гомологические ряды в химии и в биологии, периодическая система венчиков и цветков расте­ний, естественные и искусственные системы растений и животных, система общественно-экономических формаций, лингви­стическая система из шести слов-изомеров — сон, нос, нсо, сно, онс, осн.

Из определения 2 и приведенных примеров следует, что система объектов одного и того же рода — это закономерная совокупность в общем случае не входящих друг в друга, отдельно сушествующих объектов-систем, а не один объект, устроенный по типу русских матрешек. Уже это доказывает неполноту опреде­лений «системы вообще» только как «объекта-системы вообще» и иерархического объекта-системы в особенности.

Исключительно широкое распространение систем объектов тех или иных родов в природе, обществе, мышлении дает основа­ние полагать, что существует некий закон, сохраняющий свою справедливость для неживой, живой природы и общества. И та­кой закон действительно существует.

Предложение 2. Закон системности. Любой объект есть объект-система и любой объект-система принадлежит хотя бы одной системе объектов данного рода.

Справедливость этого закона прямо следует из определений 1, 2 и предложения 1. Заметим, что здесь и далее тем или иным предложениям дается статус «закона ОТС» в том случае, если они, отображая существенные, повторяющиеся особенности сис­тем, имеют фундаментальное онтологическое и гносеологическое значение.

Закон системности по охвату реальности — один из абсолют­ных законов ОТС. Его проявления в природе, обществе и мыш­лении не могли бы быть осознаны без ясного понимания и онто­логического статуса ОТС, без отвечающего требованию полноты определения объекта-системы, без открытия существования при­нципиально нового вида систем — систем объектов одних и тех же родов.

С законом системности связаны два алгоритма: алгоритм представления объекта как объекта-системы (см. параграф 2 на­стоящей главы) и алгоритм построения системы объектов одного и того же рода, к изложению которого мы и переходим.

Алгоритм построения системы объектов данного рода. В са­мом общем виде данный алгоритм можно свести к четырем основным шагам:

1. К отбору из универсума {U} по единому основанию А_i⁽⁰⁾ не­которой совокупности «первичных» элементов {М_i⁽⁰⁾}.

2. К наложению на «первичные» элементы определенных отношений единства R_i⁽¹⁾ и к образованию благодаря этому по закону Z_i⁽¹⁾ множества объектов-систем (композиций) {М_i⁽¹⁾}.

3. К такому изменению композиций множества {М_i⁽¹⁾} и к та­кому выводу (согласно отношениям R_i⁽²⁾, R_i⁽³⁾, .., R_i^(S) и зако­нам композиции Z_i⁽²⁾, Z_i⁽³⁾, .., Z_i^(S) множеств композиций {М_i⁽²⁾}, {М_i⁽³⁾}, ..., {М_i^(S)}, при которых эти композиции оказываются построенными из части или всех «первичных» элементов одного и того же множества {М_i⁽⁰⁾}.

4. К выводу всех возможных для данных A_i, R_i, Z_i объектов-систем множества {М_i}, или системы объектов данного — i-го — рода S_i = {М_i} = {М_i⁽⁰⁾, М_i⁽¹⁾, ..., М_i^(S)}.

Рис 1. Изомерийно-неизомерийная система циклических венчиков со стыкующимися лепестками (m= 1 ¸6) . Плюсы и минусы при стыках ука­зывают на характер последних; символы в скобках — виды симметрии; m — число лепестков, Р — число изомеров

Пример биологический. Построим систему циклических вен­чиков со стыкующимися лепестками [см.: 93].

Для этого, согласно шагу 1, по основанию А_л⁽⁰⁾ выделим множество первичных элементов {М_л⁽⁰⁾}={л}, содержащее лепес­тки (индекс «л» — лепесток). Согласно шагу 2, наложим на лепестки отношения R_B⁽¹⁾ (взаимоналожения по кругу краев одних лепестков на края других) и по закону

Z_B⁽¹⁾ =P(m,r) =1/m å r^kj (m/k)

^k|m

(m=1) образуем первые два венчика значности: 1+0— и 1 — , 0 + , а тем самым и множество {М_B⁽¹⁾}= {1+, 0-; 1-, 0+} из таких венчиков (см. рис. 1).

Согласно шагу 3, изменим композиции множества {М_B⁽¹⁾}, т. е. венчики 1 +, 0— и 1 —, 0+ (по отношениям R_B⁽²⁾ = R_B⁽³⁾ = = . ..= R_B^(S) = R_B⁽¹⁾ и закону композиции

Z_B⁽²⁾ = Z_B⁽³⁾ =.. .= P(m, r) = Z_B⁽¹⁾ =P(m,r) =1/m å r^kj (m/k)

^k|m

таким образом, что образуем все возможные циклические венчики с числом стыкующихся лепестков m = 2, 3, 4, 5, .. ., s; а тем самым и множества {М_B⁽²⁾}= {1+, 1 —; 2—, 0+; 2 + , 0-), {М_B⁽³⁾}={3+, 0-; 3 —, 0+; 2 + , 1 — ; 2-, 1 +},..., {М_B^(S)}=(S + , 0-; S-, 0+; (S-l)+, 1-; (S— 1)—, 1+;…} (см.рис. 1).

Наконец, согласно шагу 4, получим систему циклических венчиков со стыкующимися лепестками S_B = {M_B}={ М_B⁽⁰⁾, М_B⁽¹⁾, М_B⁽²⁾, ..., М_B^(S)}, частично схематически изображенную на рис. 1 (m=1 ¸ 6).

Построение системы объектов данного рода позволяет определить понятие «абстрактная система», или просто «система».

4. Вывод и определение понятия «абстрактная система»

Изучая особенности циклических венчиков со стыкующимися лепестками, мы обнаружили [93], что по таким признакам, как (не) четность числа лепестков т, (не) четность числа значных состояний венчика Z = m+l, изомерия — I, симметрия — S, система является периодической, ибо с переходом из одной ее клетки в другую все эти признаки изменяются периодически. Далее мы установили, что свойства изомерных совокупностей по ходу системы изменяются по следующему закону: четность, изомерия, симметрия изомерийных совокупностей циклических венчиков находятся в периодической зависимости от числа ле­пестков т, совпадающего с номером клетки в системе.

Теперь нетрудно заметить изоморфизм данного закона зако­ну системы химических элементов, установленному в 1869 г. Д. И. Менделеевым и уточненному в 1913 г. Ван дер Бруком и Г. Мозли. Согласно этому закону, свойства химиче­ских элементов находятся в периодической зависимости от числа положительных зарядов их атомных ядер Z, совпадающего с номером клетки в системе.

Как видно, оба периодических закона (химических элемен­тов и циклических венчиков) в принципе одинаковы. Они лишь две различные реализации одного и того же абстрактного закона дискретной периодической системы S_p, согласно которому P₁, Р₂, Р₃, … , P_к свойства объектов-систем системы S_p нахо­дятся в периодической зависимости от N, совпадающего с номе­ром клетки в S_p системе.

В результате мы подходим к идее системы объектов одного и того же типа, например периодического, генеалогического, сетчатого, иерархического и т.д. Приведенные системы (венчи­ков растений и химических элементов), а также системы крис­таллографических индексов [75], метаболических путей [47], структуры фауны и флоры в связи с размерами организмов [107], кариотипов цветковых растений [16] представляют собой конкретную реализацию системы одного и того же типа — периодического (прерывного или непрерывного).

Это означает, что системы объектов одних и тех же родов можно объединять во все более и более крупные единицы — в системы объектов одних и тех же семейств, классов, типов и т. д. Тем не менее все они из-за инвариантности определения 2 относительно такого объединения в свою очередь могут быть интерпретированы как системы объектов одних и тех же родов, но разной степени общности. В пределе движение от менее ко все более общим системам в конце концов приводит к системе вообще.

Определение 3. Система S — это множество объектов-систем, построенное по отношениям r множества отношений {R}, законам композиции z множества законов композиций {Z} из «первичных» элементов m множества {М⁽⁰⁾}, выделенного по основаниям а мно­жества оснований {A⁽⁰⁾} из универсума U. При этом множества {Z}; {Z} и {R}; {Z}, {R} и {М⁽⁰⁾} могут быть и пустыми.

Сделаем три замечания к данному определению.

Замечание 1. Основное в определении системы — это тройка символов А⁽⁰⁾, R, Z. Первые два (А⁽⁰⁾, R) во многие определения системы были введены до нас. Понятие о законе композиции было сформулировано и введено нами в определение системы а 1968 г. Это было сделано в связи с тем, что в ряде случаев без указания Z_i однозначное определение системы данного — i-ro — рода невозможно. Например, пусть А_C⁽⁰⁾ — основание для выделения атомов углерода С, А_H⁽⁰⁾— атомов водорода Н, R_y — отношение химического сродства. Тогда по А_C⁽⁰⁾ А_H⁽⁰⁾ R_y мoжнo было бы получить по крайней мере две системы углеводородов:

S_y⁽¹⁾ ==С, Н, CH₄, C₂H₆, C₃H₈, … C_SH_2S+2,

S_y⁽²⁾ = C, H, CH₂, C₂H₄, C₃H₆, ..., C_SH_2S.

Это значит, что лишь по А_y⁽⁰⁾ и R_y однозначно задать систему невозможно. Однако мы получим именно систему S_y⁽¹⁾ или S_y⁽²⁾, если дополнительно укажем на закон композиции соответственно Z_y⁽¹⁾ = C_nH_2n+2 или Z_y⁽²⁾ = C_nH_2n.

Таким образом, указание в определении конкретной или абстрактной системы на закон ее композиции для ряда систем действительно необходимо. Между тем в существующих опреде­лениях систем даже у М. Месаровича и А. И. Уемова указание на закон композиции отсутствует, в силу чего такие определения могут приводить к неоднозначным результатам.

Замечание 2. Стремление ко все более общему и содержа­тельному определению системы, желание удержать то ценное, что было создано системологами, и прежде всего А. И. Уемовым, автором параметрического варианта ОТС, и М. Месаровичем, автором теоретико-множественного варианта ОТС, застави­ло нас дополнить определение системы указанием на то, что множества {Z}; {Z} и {R}; {Z}, {R} и {A⁽⁰⁾} могут быть пустыми.

Действительно, в случае когда множество законов компози­ции пустое, т.е. {Z}=Æ, возможно определение системы, осно­ванное только на {A⁽⁰⁾} и {R} (дефиниция А. И. Уемова) [86]. Если же принять во внимание случай, когда и {Z}=Æ, и {R}=Æ, то можно прийти к определению системы, основанному только на {A⁽⁰⁾}, например данному М. Месаровичем [63].

Замечание 3. ОТС и теория множеств. Ю. А. Шрейдер про­тивопоставляет системный подход теоретико-множественному [115; 116]. Но согласно закону системности, множество и теории множеств суть системы, они должны и действительно принадле­жат соответственно системе множеств и системе теорий мно­жеств. В этом легко убедиться, просмотрев лишь первые главы современных книг по теории множеств, например, Н. Бурбаки [12] или К. Куратовского и А. Мостовского [41]. С точки зрения ОТС множество есть система, построенная лишь по основанию А⁽⁰⁾ из заранее заданных элементов. Между тем система конструируется в одних случаях только из заранее заданных элементов — в виде множества {М⁽⁰⁾}; в других, более общих случаях — как из заранее заданных элементов, так и тех композиций, которые составляются по закону Z из множества «первичных» элементов {М⁽⁰⁾}. Следовательно, теоретикo-множе­ственный подход является частным случаем системного подхода и было бы неправильным противопоставлять их. Другими слова­ми, ОТС включает в себя теорию множеств и не может быть сведена к ней, в чем мы согласны с Ю. А. Шрейдером.

Итак, мы выявили и определили основные понятия ОТС («объект-система», «система объектов одного и того же рода», «абстрактная система»). Теперь, исходя из определения разного рода систем, мы разовьем систему предложений ОТС и дадим выводы законов преобразования объектов-систем.

Основной закон ОТС

Предложение 3. Существуют лишь четыре основных преобразования объекта-системы в рамках системы объектов одного и того же рода, именно: тождественное, количественное, качественное, относительное, или, что то же, преобразования в себя, количест-иа, качества, отношений «первичных» элементов.

Докажем это утверждение. Объект-система уже в силу свое­го существования либо покоится, либо изменяется. В первом случае благодаря тождественному преобразованию он непре­рывно переходит в себя, во втором — в объекты-системы ка­чественно одинакового (одного и того же) или разных родов.

Очевидно, рассматривая преобразования объектов-систем в рамках системы объектов одного и того же рода, мы уже по одному этому условию обязаны считать законы композиции z Î {Z_i}, при таких переходах неизменными. Однако при фиксированном {Z_i} в объекте-системе по определению нельзя изменить ничего другого, кроме количества, качества, отношений единства «первичных» элементов. В результате мы приходим лишь к четы­рем преобразованиям: тождественному (в случае перехода объекта-системы в себя), количественному, качественному, отно­сительному (для случаев превращения его в другие объекты-системы).

Пример тождественного преобразования: сон « сон. В этом случае количество, качество, отношения букв не изменяются.

_{+ м}

Примеры количественных преобразований: сон « сонм.

^{— м}

В этом случае ни качество, ни отношения (линейный порядок и качество букв) не изменяются.

Примеры качественных преобразований (букв друг в друга)

Предполагается возможность отождествления этих равностронних треугольников и букв их вершин посредством различных поворотов в пространстве. При таких условиях качественное преобразование букв и треугольника ТОМ в треугольник ОМТ и наоборот не изменяет ни количества, ни отношений его «пер­вичных» элементов (сторон, букв, углов).

Примеры относительных преобразований (перестановок): ТОМ « МОТ. Количество и качество букв при этих переста­новках не изменяются.

Из четырех основных преобразований сочетанием их по 1, по 2, по 3, по 4 можно получить 4 основных и 11 производных пре­образований (всего 15) (см. табл. 1). При этом полнота перебо­ра в табл. 1 всех вариантов преобразований доказывается про-

₄

стой констатацией того, что åС₄ⁱ, = 2⁴—1 = 15.

ⁱ⁼¹

При сопоставлении 2-го преобразования с 9-м, 3-го с 10-м, ..., 8-го с 15-м нетрудно заметить несущественные, чисто количественные отличия их друг от друга. Если мы учтем при­нципиальную тождественность преобразований 2—8 соответ­ствующим им преобразованиям 9—15 и одновременно не упус­тим из виду количественного их аспекта, то придем к фунда­ментальному обобщению, с которым связаны все предложения ОТС (поэтому оно названо центральным).

Таблица 1. Список основных и производных преобразований объекта-системы в рамках системы объектов данного рода

Виды преобразований*
1 – Т 2 – Кл 3 – Кч 4 – О 5 - КлКч	6 – КлО 7 – КчО 8 – КлКчО 9 – ТКл 10 - ТКч	11 – ТО 12 – ТКлКч 13 – ТклО 14 – ТкчО 15 - ТКлКчО

* Т — тождественное, Кл — количественное, Кч — качественное, О — относи­тельное преобразование.

Центральное предложение ОТС — основной закон систем­ных преобразований объекта-системы: объект-система в рамках системы объектов одного и того же рода благодаря своему существованию переходит по законам z Î {Z_i} : А) либо в себя — посредством тождественного преобразования, Б) либо в другие объекты-системы — посредством одного из семи, и только семи, различных преобразований, именно изменений: 1) количества, 2) качества, 3) отношений, 4) количества и качества, 5) количе­ства и отношений, 6) качества и отношений, 7) количества, качества, отношений всех или части его «первичных» элементов.

С точки зрения центрального предложения одним и тем же названием, например «Кл преобразование», обозначаются и пре­образования, изменяющие числа каждого «первичного» элемен­та объекта-системы, и преобразования, изменяющие числа лишь части его «первичных» элементов.

Далее. Это предложение показывает, что вся совокупность системных преобразований состоит из одного тождественного и семи нетождественных. Знание числа и качества их имеет немаловажное значение. Так, исходя из этого знания, мы можем утверждать, что только семью различными способами неживая, живая природа и общество могут творить свои объек­ты-системы. Между тем принципиально важный вопрос о числе и виде способов порождения (преобразования) объектов ни философы, ни естествоиспытатели еще не ставили, за исключе­нием разве Демокрита из Абдеры [подробнее об этом см. 94], даже тогда, когда постановка данного вопроса и ответ на него буквально напрашивались при создании различных эволюцион­ных и генетических концепций. Это обусловило неполноту этих концепций. Например, А. Н. Северцов [74], перечисляя в создан­ной им теории развития онтогенеза модусы филэмбриогенеза, из семи возможных называет только два - изменение числа (про­лонгацию — удлинение, аббревиацию — укорочение) и качества (девиацию — уклонение) этапов эмбриогенеза. Пять других мо­дусов филэмбриогенеза, несмотря на наличие фактического ма­териала, им не выделяются. Аналогично обстоит дело и с синте­тической теорией эволюции, с различными морфогенетическими концепциями. Например, морфогенез пытаются свести в конеч­ном счете лишь к увеличению или уменьшению числа и размеров клеток, к их дифференциации и дедифференциации, т.е. к 1) и 2) способам производства объектов-систем, и не учитывают пять других — 3), 4), 5), 6), 7) — способов их преобразований. Это с необходимостью требует дополнения указанных концеп­ций на 5/7[1].

Так обстоит дело с преобразованием отдельного объекта-системы. Если же рассматривать преобразования совокупности объектов-систем, то в этом случае число таких преобразований будет значительно больше восьми.

Предложение 4. Совокупность объектов-систем в рамках системы объектов одного и того же рода благодаря своему существованию будет переходить по законам z Î {Z_i} либо в се­бя — посредством тождественного преобразования, либо в дру­гие совокупности объектов-систем — посредством одного из 254 (и только 254) различных способов.

В этом случае увеличение числа способов преобразования с 8 до 255 объясняется просто: преобразование одной совокупно­сти объектов-систем в другие может происходить не только одним из 8, но и любыми 2 из 8, 3 из 8, ..., 8 из 8 способов.

₈

A = åС₃ⁱ = 2⁸- 1=255.

ⁱ⁼¹

Разумеется, данные выкладки справедливы лишь для приня­тых здесь условий. Если же, например, различать порядок преобразований (что может оказаться важным при изучении протекания «реакций» во времени), а также кратность использо­вания при этом каждого способа преобразования, то число различных «переделок» может возрасти до бесконечности.

Итак, мы описали все системные преобразования, возмож­ные с точки зрения разработанной нами ОТС. Теперь проанали­зируем их и с точки зрения теории групп.

6. Теория групп неэволюционных, эволюционных системных преобразований, антипреобразований и их инвариантов. Формы изменения, развития, сохранения материи

Определение 4. Произвольное множество Г с заданным на нем действием * называется группой, если:

а) для каждых а, b Î Г произведение а * в принадлежит Г;

б) для любых трех элементов а, в, с Î Г выполняется равен­ство (а*в}*с = а*(в*с), т. е. действие умножения, заданное на Г, ассоциативно;

в) существует такой элемент е Î Г, что для каждого аÎ Г имеем а*е = е*а = а, причем элемент е называется ней­тральным (единичным, нулевым) для действия *;

г) для каждого элемента а Î Г существует такой единствен­ный элемент b Î Г, что а*в = в*а = е.

Существует множество примеров группы. Так, множество Z всех целых чисел для действия сложения является группой. Действительно, сумма целых чисел — это тоже целое число. Действие сложения целых чисел имеет ассоциативное свойство. нейтральным элементом для действия сложения целых чисел служит число 0, потому что для каждого а Î Z имеем а + 0 = 0 + а = а. Кроме того, для каждого числа а Î Z существует такое число —а Î Z, что а+ ( — а) = ( — а) +а = 0. Следовательно, тожество Z всех целых чисел — группа.

Если группа состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней называется порядком группы. Далее. Непустое подмножество А группы Г считается подгруппой, если вместе с каждым элементом а оно содержит также и обратный ему элемент а^-1 и вместе с каждыми двумя элементами а, в оно содержит и их произведение ab. Очевидно, всякая подгруппа данной группы Г является группой относительно той операции, которая определена в Г. Пример: аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел.

Конечную группу удобно задавать в виде так называемой таблицы «умножения» группы — схемы Кэли[2]. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри ее размещаются «произведения» элементов (см. табл. 2).

Таблица 2. Схема Кэли Группы порядка 2 с элементами 1, —1

F		-1
		-1
-1	-1

В этой группе два элемента: + 1 и — 1, закон их композиции дан символом F — в данном случае в виде обычного умножения в качестве бинарной операции. Вообще же закон композиции элементов группы может сильно отличаться от обычного умножения или сложения, поэтому применительно к группе говорят не просто об умножении, а об «умножении», имея в виду расширительное толкование этого термина, в чем можно убедиться, анализируя приводимые ниже схемы Кэли системных преобразований и антипреобразований.

Групповая природа той или иной совокупности элементов является лишь математическим выражением внутренней симмет­рии, гармонии, совершенства данной совокупности. Действитель­но, симметрия в рамках ОТС предстает как системная категория, обозначающая совпадение по признакам «П» систем «С» после изменений «И» [см.: 91]. И в связи с каждой из четырех аксиом теории групп можно утверждать, что произвольная груп­па Г симметрична, ибо: 1) относительно заданного на ней закона композиции Z для каждых а, в Î Г композиция aZb также принадлежит Г, а вся группа после всех возможных парных «произведений» по составу ее элементов совпадает сама с собой (аксиома «замыкания»); 2) для любых трех элементов а, в, с Î Г имеет место равенство (aZb) Zc = aZ (bZc), т. е. инвари­антность результатов произведений трех элементов относительно, различных расстановок скобок; 3) существует такой (единствен­ный) элемент e Î Г, что для каждого аÎ Г имеем aZe = eZa = a, т. е. совпадение элемента а с самим собой после его композиции с е; 4) для каждого элемента аÎ Г существует (единственный) симметричный (обратный) ему элемент вÎ Г, так что aZb = bZa = e, т.е. композиция симметричных элементов дает так называемый нейтральный элемент е, который сам по себе отно­сительно Z образует группу 1-го порядка.

Симметричность группы объясняет, почему групповую при­роду совокупности системных преобразований, самой системы относительно тех или иных законов композиции мы рассматрива­ем как выражение их симметричности.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. Ее математическое выражение — теория групп — была признана одним из самых сильных средств познания первоначально в математике, а позд­нее в науке и в искусстве [117; 91]. Поэтому простое обнаруже­ние теоретико-групповой природы системных преобразований представило бы большой познавательный интерес, связало бы ОТС с наиболее глубокими достижениями человеческой мысли, дало бы в руки ученых новое средство для исследования систе­мы, поставило бы новые задачи по дальнейшей разработке математического аппарата ОТС.

Рассматривая далее совокупности системных преобразова­ний и антипреобразований, действий и взаимоотношений (см. параграф 14 настоящей главы), мы ставили перед собой только одну цель: доказать, что данные совокупности, хотя бы относительно выбранных законов композиции, образуют группы, что они симметричны. Поэтому вопрос о содержательной интер­претации тех или иных групп, и прежде всего связанных с ними законов композиции, мы пока оставляем в значительной мере открытым.

Предложение 5 (доказано А. В. Маликовым). Совокупность восьми системных пре­образований относительно закона композиции Z, заданного схе­мой Кэли этих преобразований, есть группа 8-го порядка.

В табл. 3 приведена эта схема, из которой непосредственно следует доказательство данного предложения.

Таблица 3. Схема Кэли группы системных преобразований 8-го порядка

Z	Т	Кл	Кч	О	КлКч	КлО	КчО	КлКчО
Т	Т	Кл	Кч	О	КлКч	КлО	КчО	КлКчО
Кл	Кл	Т	КлКч	КлО	Кч	О	КлКчО	КчО
Кч	Кч	КлКч	Т	КчО	Кл	КлКчО	О	КлО
		КлО	КчО	Т	КлКчО	Кл	Кч	КлКч
КлКч	КлКч	Кч	Кл	КлКчО	Т	КчО	КлО	О
КлО	КлО	О	КлКчО	Кл	КчО	Т	КлКч	Кч
КчО	КчО	КлКчО	О	Кч	КлО	КлКч	Т	Кл
КлКчО	КлКчО	КчО	КлО	КлКч		Кч	Кл	Т

Из табл. 3 видно, что, во-первых, результатом совместного действия (композиции) любой пары преобразований является одно из восьми преобразований; во-вторых, композиция лю­бых трех преобразований ассоциативна, например (КлКчZКчО) ZТ = КлКчZ (КчОZТ)=КлО; в-третьих, сущес­твует такое тождественное (нейтральное) преобразование Т, композиция которого с любым нетождественным преобразовани­ем дает то же самое нетождественное преобразование, например ТZКч = КчZТ = Кч; в-четвертых, для каждого преобразования существует такое ему обратное, результатом композиции с кото­рым является Т-преобразование (в нашем случае каждое пре­образование обратно самому себе); в-пятых, закон Z коммута­тивен, так как таблица симметрична относительно главной диа­гонали, проходящей из верхнего левого угла в правый нижний. Следовательно, в данной группе для любой пары преобразова­ний а, в aZb — bZa. В алгебре такие группы называют абелевыми по имени норвежского математика Н. X. Абеля.

Следуя теореме Лагранжа (1771 г.) о том, что во всякой конечной группе порядок любой подгруппы является делителем порядка самой группы, и теореме Силова (1872 г.), согласно которой группа Г порядка g содержит подгруппу поряд­ка k в том случае, если k — делитель числа g и k = p^m (где р — простое число, a m — любое положительное целое число), мож­но показать, что существуют семь подгрупп 2-го порядка, шесть подгрупп 4-го порядка, одна подгруппа— 1-го и еще одна — 8-го порядка (всего 15 подгрупп).

Существование семи подгрупп (тоже групп!) 2-го порядка говорит о том, что каждое из нетождественных преобразований в сочетании с тождественным образует относительно зако­на Z группу симметрии 2-го порядка. Но это означает, что буквально каждому виду системных преобразований при опреде­ленных условиях присущи гармония, известная полнота и за­мкнутость на себя.

С точки зрения исторического времени каждый неэволюци­онный способ системного преобразования предстает как кле­точка, неразвитая форма соответствующего эволюционного сис­темного преобразования (подробнее об этом см. параграф 16 на­стоящей главы). Поэтому применительно к истории неживой, живой природы, общества тождественное преобразование обора­чивается стасигенезом, количественное преобразование — квантигенезом (с его двумя видами — прогрессом и регрессом) , качественное — квалигенезом, относительное — изогенезом (од­ноуровневым развитием), … , количественно-качественно-отно­сительное — кванти-квали-изогенезом; тождественное и нетож­дественное преобразования — стаси- и неогенезом; группа и под­группы неэволюционных восьми системных преобразований — математически им изоморфными группой и подгруппами восьми эволюционных системных преобразований.

Новый шаг в учении о преобразованиях может быть сделан с помощью диалектического раздвоения каждого преобразова­ния на n пар системных антипреобразований (кстати, в каждом приведенном выше примере четырех основных преобразований мы указали как « + », так и « — » их формы). Реальными же аналогами всех таких « + », « —» -преобразований могут служить прямые и обратные мутации в биологии, прямые и обратные реакции в химии, физике и т. д.

Для 8 фундаментальных преобразований центрального пред­ложения возможны 27 антипреобразований: 1 — для Т; по 2 — для Кл, Кч, О; по 4 — для КлКч, КлО, КчО; 8 — для КлКчО-преобразований. В частности, для Кл-преобразования возможны +Кл, — Кл; для КлКч— + Кл+Кч, — Кл — Кч, + Кл— Кч, -Кл + Кч; для КлКчО- +Кл +Кч + О, — Кл —Кч — О; +Кл+Кч-О, — Кл— Кч + О; + Кл-Кч + О, — Кл+Кч — О; +Кл— Кч — О, — Кл+Кч + О-антипреобразования. Антипреобразованием Т-преобразования является само это преобразование.

Предложение 6. Совокупность 27 антипреобразований отно­сительно закона композиции F есть абелева группа 27-го по­рядка.

Для схематического изображения «действия» закона F при­шлось бы дать квадратную таблицу Кэли, в первом столбце и в первой строке которой были бы приведены обозначения всех 27антипреобразований, а в местах их пересечения — результаты композиции по закону F всех возможных пар антипреобразований. В итоге мы получили бы таблицу из 27х27 = 729 клеточек с результатами. Однако вовсе не обязательно строить столь громоздкую таблицу, можно воспользоваться и репрезентатив­ным фрагментом таблицы, который позволяет убедиться в вы­полнении требований всех четырех аксиом теории групп (табл. 4). Следуя теоремам Лагранжа и Силова, мы получаем 13 подгрупп 3-го порядка, 3 подгруппы 9-го порядка, одну подгруппу первого и еще одну — 27-го порядка (всего 18 подгрупп). Су­ществование 13 подгрупп 3-го порядка говорит о том, что пары взаимопротивоположных форм каждого из восьми преобразова­ний в сочетании с тождественным преобразованием относитель­но закона группы F образуют вполне гармоничную троицу, в чем можно убедиться и по приведенному фрагменту.

Как и ранее, применительно к истории группа и подгруппы меэволюционных 27 системных антипреобразований оборачива­ются математически изоморфными им группой и подгруппами 27 эволюционных системных антипреобразований. Существова­ние и у эволюционных системных преобразований, в частности у количественного (квантигенеза), « + »- и « — »-реализаций вполне убедительно подтверждают хотя бы следующие данные.

В. А. Догель в книге «Олигомеризация гомологичных орга­нов как один из главных путей эволюции животных» [25] на основании колоссального материала по самым различным груп­пам животных установил реализацию в ходе их эволюции: 1) процесса полимеризации — увеличения числа гомологичных ор­ганов; 2) процесса олигомеризации — уменьшения числа гомологичных органов; 3) смены полимеризации олигомеризацией, а в более редких случаях — олигомеризации полимеризацией; 4) полимеризации по одним и олигомеризации по другим органам; 5) сочетания полимеризации с децентрализацией и дезинтегра­цией, а олигомеризации — с централизацией и интеграцией ор­ганизма, с большей его дифференциацией, более тонкой и слож­ной организацией и т. д.

Таблица 4. Фрагмент таблицы Кэли группы системных антипреобразований 27-го порядка

F	Т	+ Кл	-Кл
Т	Т	+ Кл	-Кл
+ Кл	+ Кл	- Кл	Т
-Кл	-Кл	Т	+ Кл

Соответственно восьми случаям центрального предложения и отвечающим им одной подгруппе первого и семи подгруппам второго порядка можно для неживой, живой природы и общест­ва назвать также восемь случаев сохранения: 1) Кл, Кч, О, Z; 2) Кч, О, Z; 3) Кл, О, Z; 4) Кл, Кч, Z; 5) О, Z; 6) Кч, Z; 7) Кл, Z; 8) Z, где четыре индекса — Кл, Кч, О, Z — обозначают четыре основные формы сохранения соответственно количества, качест­ва, отношений, закона композиции «первичных» элементов. При­мерами первых двух случаев могут служить законы сохранения электрического, барионного, лептонного зарядов в квантовой механике; в качестве примера закона сохранения отношений может служить закон постоянства скорости света в пустоте, а примером последнего (8-го) — инвариантность законов физи­ки относительно, например, зарядово-пространственно-временного, или СРТ-преобразования по Паули и Людерсу.

Восемь видов сохранения (инвариантности) состоят из четы­рех пар противоположностей: 1) и 8), 2) и 7), 3) и 6), 4) и 5). Действительно, скажем, в случае 2) сохраняются качество, отношения и закон композиции «первичных» элементов, а коли­чество последних нарушается; в случае же 7), наоборот, сохра­няются количество и закон композиции «первичных» элементов, а качество и отношения их нарушаются. Это означает, что разного рода системные преобразования, за исключением Т-преобразования, характеризуются нарушением одних и ненаруше­нием других законов сохранения.

1. Формы изменения, развития, сохранения материи. Исходя из центрального предложения, мы придаем не только теоретико-системный, но и философский смысл основному закону ОТС — закону системных преобразований, поскольку он сохраняет зна­чение для всех форм движения и существования материи, любых материальных и идеальных объектов. Действительно, согласно закону системности, любой объект (стало быть, и такой, как форма движения и форма существования материи) суть объект-система и любой объект-система принадлежит хотя бы одной системе объектов одного и того же рода. Это проявляется, в частности, в том, что любая форма движения и любая форма существования материи принадлежат соответственно системе механической, физической, химической, геологической, биологи­ческой, социальной форм движения и системе пространства, времени и движения. Согласно же основному закону ОТС, любой объект-система в рамках системы объектов одного и того же рода благодаря даже только своему существованию будет либо покоиться (относительно), либо изменяться одним из 7 (и толь­ко 7) способов, что убедительно подтверждается материалами наук о каждой форме движения и каждой форме существования материи.

2. Важное значение для конкретизации диалектического закона единства и «борьбы» противоположностей имеет положе­ние о диалектике неэволюционных системных преобразований, выраженной в раздвоении их на тождественное и нетождествен­ные преобразования, а нетождественных в зависимости от их вида — на 1, 2, 4 пары неэволюционных антипреобразований. Это позволяет впервые говорить о взаимопротивоположных — положительных и отрицательных — количественных и (или) ка­чественных и (или) относительных формах изменения.

3. Диалектика эволюционных системных преобразований посредством раздвоения их на стасигенетическое и неогенетические, а неогенетических в зависимости от их вида — на 1, 2, 4 пары эволюционных антипреобразований позволяет впервые говорить о взаимопротивоположных квантигенетических и (или) квалигенетических и (или) изогенетических формах развития; это, как и диалектика восьми (неэволюционных и эволюци­онных) видов сохранения посредством раздвоения их на четыре пары противоположностей, служит существенным дополнением общего диалектико-материалистического учения о развитии. Та­ким образом, ОТС предоставляет новый материал для углубле­ния и дальнейшей конкретизации учения об изменении, развитии и сохранении материи. В виде общесистемного синтеза этот вывод можно зафиксировать посредством новых категорий: «формы изменения материи», «формы развития материи» и «формы сохранения материи».

7. Операции сложения и вычитания, входа и выхода в ОТС

Предложение 7 — второй закон преобразования объектов-систем. В подсистемах М_i^(j) (j = 1, 2, 3, .., s) системы объектов данного — i-того — рода, т.е. S_i, отвечающих условиям 1), 4), 5), 7) центрального предложения, имеет место либо прибавление D₁, либо вычитание D₂, либо прибавление D₁ и вычитание D₂, «первичных» элементов (D₁>< D₂ или D₁ = D₂; D₁, D₂ ³ 1).

Это значит, что только тремя способами — прибавлением (+ ), вычитанием (—), прибавлением и вычитанием ( + , —) — можно изменить число «первичных» элементов. Причем лю­бопытно, что число элементов можно изменить не одним, а не­сколькими способами: во-первых, путем прибавления (1) внеш­него, т. е. входа в систему элементов извне; (2) внутреннего, т. е. а) деления части или всех первичных элементов объекта-системы, б) синтеза элементов внутри объекта-системы, в) деле­ния и синтеза; (3) внешнего и внутреннего (тремя способами); во-вторых, путем вычитания (1) внешнего, т. е. выхода эле­ментов из объекта-системы вовне; (2) внутреннего, т. е. а) слияния, б) распада (деградации) части или всех элементов системы, в) слияния и распада; (3) внешнего и внутреннего (тремя способами); в-третьих, путем прибавления и вычита­ния — 1926 способами при различении и 49 способами при неразличении порядка комбинируемых « + »-, «— »-процессов. Большой интерес здесь представляет логически предвидимый процесс обмена элементов — одновременного и (или) последо­вательного внешнего вычитания и внешнего прибавления.

Особо следует обратить внимание на вывод в рамках ОТС идей таких важнейших взаимопротивоположных природных и общественных процессов, как процессы входа и выхода, деле­ния и слияния, синтеза и распада, обмена и одностороннего тока элементов, которые ранее рассматривались просто как изначаль­но данные; на обнаружение связи этих процессов с прибавлени­ем и вычитанием и тем самым в качестве конкретных видов порождения (преобразования) объектов первым способом из семи приведенных; на богатство форм прибавления и вычитания. К тому же следует учесть, что каждый из рассматриваемых « + + », «— —», «+, — »-способов в свою очередь может быть реали­зован бесчисленным множеством подспособов! Таким образом, за, казалось бы, внешней бедностью, незамысловатостью перво­го способа порождения объектов-систем в действительности скрываются удивительные по разнообразию формы прибавления и (или) вычитания, неизвестные ранее связи количественных преобразований с фундаментальными природными и обществен­ными процессами.

Предложение 7 справедливо для всех форм существования и движения материи и для всех их видов. Поэтому без особого труда можно назвать реальные системы, отвечающие данному предложению. Таковы, например, существующие в мире крис­таллов «структуры прибавления» (в частности, «внедрения»), «структуры вычитания» (в частности, с «дырками»), «структуры обмена», «структуры превращениям; точечные группы симметрии с добавленными или вычтенными вертикальными, горизонталь­ными, диагональными плоскостями отражения (т. е. с s_v, s_h> s_d), а также с осями вращения на те или иные углы (с C_n^(a) , n= 1, 2, 3, ..., ¥; а=1, 2, 3, ..., n); хромосомные наборы с увели­ченными (вследствие авто-, алло-, псевдополиплоидизации, полигаплоидизации) или уменьшенными (в результате потерь при процессах, противоположных первым) числами хромосом; химические процессы, сопровождающиеся «прибавлением и (или) вычитанием» фотонов, электронов, протонов, ионов, атомов, радикалов, молекул; наконец, просто арифметика с ее главными операциями — прибавлением и (или) вычитанием. В общественном производстве, рассматриваемом как система, также имеют место специфические формы превращения, прибавления, вычитания, обмена предметов, средств и продуктов труда, а также распределение, обмен, потребление (личное и производственное) продуктов производства.

Исходя из предложения 7, нетрудно сформулировать новое утверждение.

Предложение 8. С точки зрения «входа» и «выхода» возможны системы лишь следующих четырех родов: 1) без входа и выхода — «некибернетические»; 2) со входом и выходом—«кибернетические»; 3) со входом, но без выхода и 4) с выходом, но без входа —«полукибернетические». При этом объект-система типа 1) есть либо закрытый, в виде, например, «мира», не спо­собного ни принять, ни выдать ни вещество, ни энергию, ни информацию, либо такой, по отношению к которому понятия «вход», «выход» просто бессмысленны, каковыми являются, скажем, треугольник или стол; типа 3) и 4) —односторонне открытый — типа «мира», способного только принять («черная дыра») или только выдать («белая дыра») вещество, энергию, информацию; типа 2) — двусторонне открытый, типа ЭВМ, нервной системы, общественно-экономической системы и т. д.

Для более полной характеристики учения о количественном преобразовании напомним (см. параграф 6 настоящей главы) о связи этого преобразования с симметрией: количественное преобразование и связанная с ним пара +Кл, — Кл-антипреобразований, как и любое системное преобразование и связанные с ним (1, 2, 4) пары антипреобразований, вместе с тождественным преобразованием образуют группы соответственно 2-го и 3-го порядков. Это обстоятельство ставит перед нами новую задачу — развить в будущем теорию групп количественных преобразований, антипреобразований и их инвариантов как раздел ОТС. В данной теории количественные преобразования должны рассматриваться в предельно общем виде. При этом известные группы чисел должны предстать в виде особых ее случаев (подгрупп).

Уже теперь мы можем задаться вопросом о причинах реализации в природе и обществе тех или иных из восьми способов порождения и преобразования объектов-систем. В самом общем случае любое достаточное основание связано с прибавлением и (или) вычитанием движущейся материи (вещества, энергии, информации), даже если речь идет о преобразованиях идеаль­ных систем, поскольку последние невозможны без изменения их носителей — материальных систем. Эти обстоятельства позволя­ют нам сформулировать еще одно утверждение.

Предложение 9. Закон достаточного основания преобразова­ния композиций системы объектов данного рода. Этот закон может быть сформулирован следующим образом: преобразова­ние одних объектов-систем в самих себя или в другие объекты в системе объектов одного и того же рода каждым из восьми способов осуществимо только при наличии необходимых и доста­точных для этого оснований — посредством прибавления и (или) вычитания движущейся материи или иначе: посредством прямых и обратных переходов: 1) количества в тождество; 2) количества в количество; 3) количества в качество; 4) количест­ва в отношение; 5) количества в количество и качество; 6) количества в количество и отношение; 7) количества в качество и отношение; 8) количества в количество + качество + отношение всех или части «первичных» элементов.

Очевидно, особого пояснения требует здесь переход количе­ства в тождество. Нагляднее все это можно показать на примере организмов: сохранение ими своих состояний как открытых динамических систем с наследственно закрепленными програм­мами роста и развития связано с прибавлением и вычитанием движущейся материи, т. е. с непрерывным потреблением ими из среды вещества, энергии и информации, с активным устранени­ем различного рода дефектов в системе «ДНК — РНК — белок» посредством большого набора ферментов и различного рода кофакторов (ДНК- и РНК-полимераз, экто- и эндонуклеаз, полинуклеотидлигаз, АТФ и т. д.), наконец, с выделением в сре­ду продуктов метаболизма и увеличением ее энтропии.

Таковы некоторые итоги системного учения о количествен­ных преобразованиях. А теперь на двух примерах покажем его значение для естествознания, конкретно для синтетической тео­рии эволюции (СТЭ), а также для философии, именно для дальнейшей конкретизации диалектического закона перехода количественных изменений в качественные и обратно.

Э. Майр [46], один из теоретиков современного дарвинизма, синтетической теории эволюции, в схеме способов происхожде­ния видов из возможных 7 (или 255 — при другом подходе) в сущности называет лишь один — количественный. При этом, говоря о количественном способе, он (как и другие «синтетисты») обычно пишет о видообразовании посредством лишь «вычитания» из материнской популяции одной и более дочерних. Как известно, такое порождение новых видов из старых путем постепенного расхождения признаков Ч. Дарвин назвал дивер­генцией. С последней справедливо связывают закон диверген­ции, монофилетизм, «древо жизни» с его единственным стволом.

Однако с точки зрения предложения 7 новые совокупности объектов-систем, т. е. новые виды, могут возникать посредством не только вычитания, но и сложения («слияния») признаков. И такие способы действительно открыты [18]. Так были созда­ны рафанобрассика — методом межродовой гибридизации; компилоспециес (полиплоидные комплексы) — посредством естественной гибридизации геномов нескольких видов; лишай­ники — путем симбиоза водоросли, гриба, а по данным П. А. Генкеля, также микроорганизма; особые формы бакте­рий — в результате трансдукции, т. е. переноса в их ДНК генов других бактерий (с помощью бактериофагов); формы организ­мов — методом генной инженерии.

Следует также учесть, что некоторые из названных способов порождения новых видов организмов — прежде всего посредст­вом аллополиплоидизации с образованием полиплоидных ком­плексов — распространены чрезвычайно широко. В. Грант в книге «Эволюция организмов» [23] сообщает, что 47 % видов покрытосеменных и 95 % папоротникообразных являются полиплоидами, большую часть которых составляют компилоспеци­ес (аллополиплоиды).

Эти факты однозначно приводят к выводу о существовании недивергентной полифилетической эволюции благодаря не рас­хождению (дивергенции), а схождению (конвергеренции) признаков. С последним мы связываем закон конвергеренции. При этом понятие «конвергеренция» мы производим от латинского олова «convergere», что значит «схождение, приближение, со­впадение, совмещение», и отличаем ее от понятия «конверген­ция», произведенного от того же слова, но означающего «сход­ство». С ним Л. С. Берг, как известно, связывал закон конвер­генции, который ни в коем случае не следует путать с законом конвергеренции.

Очевидно, любая теория биологической эволюции с призна­нием только дивергенции или только конвергеренции была бы метафизической. Между тем принципиальное значение конвергеренции для теории эволюции осознано явно недостаточно: ведь ее признание автоматически привело бы и к полифилетизму, и к отказу от «древа жизни». Учет семи других возможных способов преобразований объектов-систем, особенно онто- и филогенетической изомеризации, несомненно, способствовал бы еще более крутым перестройкам «синтетической» теории эволюции и тем самым созданию подлинно синтетического учения о развитии в живой природе.

Другой пример важности учета всех способов преобразова­ний объектов связан с законом перехода количественных измене­ний в качественные и обратно. И вот почему. Согласно Ф. Эн­гельсу, «закон перехода количества в качество и обратно... мы можем для наших целей выразить таким образом, что в природе качественные изменения — точно определенным для каждого отдельного случая способом — могут происходить лишь путем количественного прибавления либо количественного убавления материи или движения (так называемой энергии)» [50. Т. 20. С. 385].

В соответствии с законом достаточного основания преобра­зований следует отметить, что количественные прибавление и (или) убавление движущейся материи необходимы для изме­нения — порознь или вместе — и тождества, и количества, и ка­чества, и отношения. Поэтому в том же смысле, в каком допусти­мо говорить о переходе количества в качество и обратно, допус­тимо говорить о семи других возможных прямых и обратных переходах, а всего о восьми, перечисленных в законе достаточно­го основания преобразований композиций системы объектов данного рода.

Подытоживая, можно сказать, что даже наиболее перспек­тивные эволюционные учения отражают истинную картину раз­вития лишь на 2/8, несмотря на наличие огромного фактическо­го материала обо всех восьми способах преобразования объек­тов-систем. Естественно, это приводит к необходимости существенного (на 6/8) дополнения указанных учений.