Обчислення похибок фізичних вимірювань. Визначення густини тіл правильної геометричної форми

У роботі визначається густина цилідричного зразка за результатими вимірювань його маси m і розмірів: d - діаметра , h - висоти .

Густиною однорідного тіла називається відношення маси тіла до його об’єму: ρ= , або інакше, густина визначається масою одиниці об’єму. Маса є мірою інертних і гравітаційних властивостей тіла і є величиною скалярною та адитивною: маса складеного тіла дорівнює сумі мас усіх його частин. Об’єм циліндричного зразка:

V= S·h = ·h (1)

Тоді густина твердого цилідричного зразка визначається за формулою:

ρ = (2)

Шляхом математичних перетворень отримаємо формулу для розрахунку відносної похибки:

ε_ρ= (3)

Обчисливши відносну похибку ε_ρ легко знайдемо й абсолютну похибку за формулою:

∆ρ = ρ· ε_ρ (4)

Кінцевий результат непрямих вимірювань записується у вигляді:

ρ = ρ±∆ρ (5)

Похибка константи π не ввійшла до розрахункоої формули, оскільки її завжди можна зобити як завгодно малою.

Відносна похибка, яку знаходимо в результаті обчислень, має бути приблизно на порядок (тобто у 10 разів) менша за похибку результатів непрямих вимірювань. Оскільки в практиці навчальної лабораторії похибка непрямих вимірювань становить кілька відсотків, то завжди достатньо буде брати число π із трьома значущими цифрами, тобто π = 3,14.

Хід роботи:

1. Згідно номеру зразка (отриманого у викладача) визначте з табл. 1 значення m, d, h та запишіть у табл. 2.

2. Провести обробку результатів прямих вимірювань, для цього розрахувати:

- середні значення , ;

- відхилення від середніх значень

∆m_і = m_і - , ∆d = d_і - , ∆h = h_і -

- середні квадратичні відхилення

, , (6)

Розрахункивиконати не більше як із чотирма значущими цифрами. Результати розрахунків записати в табл.2

3. Визначити випадкові похибки _вип, _вип, _вип. Для цього середні квадратичні відхилення , , помножити на коефіцієнти Стьюдента t для даної надійної йьовірності α та кількості вимірювань n. Для α =0,95 і n =5, t = 2,78.

4. Значення випадкових похибок округлии до однієї значущої цифри, якщо перша цифра більша за 3. Якщо вона дорівнює 3 або менша, округлити до двох значущих цифр і запиати в табл.3. Наприклад. Якщо знайдено значення 0,419 і 0,123, після округлення варто запиати загальну похибку прямих вимірювань. Для цього з табл. 1 визначити інструментальні похибки _ін, _ін, _ін. і записати їх у табл.3. Порівняти інструментальні ∆Х_інш і випадкові ∆Х_вип похибки. Якщо одна з них більш ніж в три рази перевищує іншу, то меншою варто знехтувати і як загальну похибку прямих вимірюань взяти велику. У протилежному випадку загальну похибку розрахувати за формулою

∆X = (7)

Таблиця 1

Номер зразка	№ з/п	Діаметр d, мм ∆ dін=0,01 мм	Висота h, мм ∆hін= 0,05 мм	Маса ∆ mін=0,01 г
		10,15 10,16 10,21 10,19 10,18	16,35 16,40 16,40 16,35 16,30	3,20
		12,50 12,51 12,53 12,49 12,52	18,95 18,90 18,90 18,85 18,95	18,17 18,15 18,14 18,14 18,18
		15, 81 15,82 15,79 15,78 15,80	24,15 24,20 24,15 24,10 24,10	52,91
		18,32 18,31 18,30 18,31 18,32	32,10 32,05 32,15 32,10 32,15	6,705 6,702 6,701 6,706 6,703
		11,89 11,81 11,80 11,78 11,79	21,15 21,10 21,25 21,20 21,25	5,35
		9,31 9,30 9,32 9,29 9,27	13,15 13,05 13,10 13,05 13,10	6,93 6,92 6,93 6,97 6,96
		14,25 14,23 14,21 14,24 14,26	21,00 21,05 21,05 21,00 21,05	30,80
		16,31 16,33 16,35 16,32 16,33	18,35 18,40 18,45 18,40 18,40	29,35 29,28 29,30 29,33 29,29
		9,54 9,56 9,52 9,55 9,53	18,05 18,15 18,10 18,15 18,10	10,82
		17,77 17,75 17,72 17,74 17,71	21,95 21,90 21,85 21,90 21,85	45,63 45,69 45,67 45,65 45,64

Таблиця 2

Номер вимірювання	Маса зразка m, г	Діаметр зразка d, мм	Висота зразка h, мм	Відхилення від середнього
∆m	∆d	∆h
	Середні значення	Середньоквадратичні відхилення

Здобуті значення округлити відповідно до п. 4 і записати в табл. 3

Таблиця 3

Розмір	Інструментальна похибка	Випадкова похибка	Загальна похибка прямих вимірювань ∆Х
Маса
Діаметр
Висота

Задачі.

1. Подати результат аналізу на вміст соди в зразку методом кислотно-основного титрування, якщо отримано наступні результати: 98,10, 98,15, 98,08, 98,22, 98,10, 98,24%.

2. При визначенні вмісту берилію в стандартному зразку бронзи (2,12%) отримали наступні результати: 2,05, 2,09, 2,05, 2,12, 2,18, 2,05, 2,18, 2,19, 2,25. Чи присутня систематична похибка в методі?

3. Істинний вміст Fe₂O₃ у зразку складає 6,25%, а знайдений в результаті аналізу - 6,15%. Визначити абсолютну та відносну похибки.