Класифікація і властивості похибок вимірювань

Абсолютні похибки вимірювань поділяють на грубі, систематичні і випадкові.

Грубі похибки виникають при неуважному відношенні до вимірювань, або при недостатній кваліфікації працюючого. Вони значно відрізняються від інших значень і вибраковуються.

Систематичні похибки можуть обумовлюватися зіпсованим приладом, дією кліматичних умов, зміною розміру об¢єкту, який вимірюється, та іншими факторами.

Необхідно встановити причини появи систематичних похибок і закони їхньої дії, потім визначити відповідні поправки. Перед вимірюваннями прилади перевіряють і визначають в який мірі вони задовольняють заплановані вимоги. Поправки уводять до результатів вимірювань, а прилади, якщо вони не в повній мірі відповідають вимогам, ремонтують або замінюють.

Для виключення або зменшення впливу систематичних похибок застосовуються спеціально розроблені способи і заходи вимірювань, а тому систематичні похибки ретельно вивчають.

Випадкові похибки обумовлюються впливом факторів, які безперервно змінюються у процесі вимірювань (освітленість, температура, сила вітру, тощо) і врахувати їх неможливо.

У малій кількості вимірювань закономірність появи випадкових похибок і їхні характеристики не виявляються. Властивості цих похибок виявляються тільки при відносно великій кількості повторень вимірювання.

Таблиця 3

Вихідні дані до виконання завдання

  Варіанти
  00 - 19 20 - 39 40 - 59 60 - 79 80 - 99
  Результати вимірювань, a, м
180,01 250,02 224,98 150,01 200,02
179,98 249,99 225,01 149,98 199,99
180,00 250,03 224,99 149,99 199,98
179,99 250,01 225,00 150,02 200,01
180,02 249,97 225,02 149,99 199,99
180,01 249,99 224,98 150,01 200,02
179,99 250,00 224,99 150,00 200,01
180,03 250,02 224,97 149,99 199,96
179,98 249,98 225,03 150,02 199,99
180,01 250,01 224,99 149,99 200,02
179,99 250,02 224,96 150,01 199,98
180,02 249,96 225,01 149,98 200,01
179,97 249,98 224,98 150,00 200,03
179,98 250,01 225,02 150,01 199,99
180,02 249,99 224,99 149,99 199,98
180,01 250,02 225,01 150,03 200,00
179,99 250,01 225,02 150,01 200,01
180,02 249,98 225,00 149,96 199,99
179,97 249,96 224,96 149,97 200,03
180,03 250,04 250,03 150,02 199,96

Для заданого ряду похибок вимірювань необхідно визначити середню квадратичну і граничну похибки, а також перевірити властивості випадкових похибок вимірювань.

Для прикладу вирішимо це завдання, використовуючі подібний ряд похибок вимірювань.

Таблиця 4

Визначення властивостей похибок вимірювань

№ вимірювання Результати вимірювання D = L - Х D2
195,02 +2
195,01 +1
194,99 -1
195,00
194,98 -2
195,01 +1
195,02 +2
194,97 -3
194,99 -1
195,01 +1
194,98 +2
195,02 +2
194,99 -1
195,01 +1
195,02 +3
194,98 -2
194,99 -1
195,01 +1
194,98 -2
195,02 +2
Дійсне значення Х = 195,00 S +16 S -15

Середня квадратична похибка вимірювань визначається за формулою:

m2 =D12 + D22 + D32 + ¼ + Dn2 / n, або класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru , де

D - похибка одного вимірювання;

n - кількість вимірювань.

Тоді класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru = класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru = 1,70 см.

Значення середньоквадратичної похибки m в даному прикладі дорівнює 1,70 см.

При виконанні геодезичних вимірювань часто користуються формулою граничної похибки mграничне = 2m, або навіть mграничне = 3m. У нашому випадку 2m = 1,70 ´ 2 = 3,40 см, а 3m = 3 ´ 1,70 = 5,10 см.

Використовуючі формулу mграничне = 2m, перевіримо на даному ряді властивості випадкових похибок. Найбільша похибка у наведеному прикладі дорівнює 3 см і вона по модулю не перевищує граничну похибку 2m яка дорівнює 3,40 см. Цим підтверджується перша властивість випадкових похибок: випадкові похибки не можуть перевищувати за абсолютним значенням визначеної межі.

Позитивних похибок в даному ряду вимірювань 10, від¢ємних 9, тобто кількість позитивних і від¢ємних похибок приблизно однакова, а це підтверджує другу властивість випадкових похибок: в масиві вимірювань позитивні і від¢ємні похибки зустрічаються порівну.

В нашому прикладі малі похибки (які не перевищують m) зустрічаються в 10 випадках, тобто в половині вимірювань, а похибок, які не перевищують 2m тобто 3,40 см взагалі немає то це підтверджує третю властивість випадкових похибок: малі за абсолютним значенням похибки зустрічаються значно частіше, ніж великі.

Четверта властивість випадкових похибок в тому, що при необмеженій кількості вимірювань середнє арифметичне з випадкових похибок прямує до ноля, тобто

Lim класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru

Середнє арифметичне. Якщо є ряд рівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини, то середнє арифметичне цієї величини буде визначатися за формулою:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru , де

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru - одержані значення величини;

n - кількість вимірювань.

При визначенні середнього арифметичного користуються наближеним значенням і різницею.

Наприклад. Необхідно визначити середнє арифметичне з чисел: 250,06; 249,96; 250,08; 250,05; 249,94; 250,06. За наближену величину можна взяти L0 = 249,92. Різниці DL = Lі - L0 будуть: 0,14; 0,00; 0,10; 0,16; 0,13; 0,11; 0,02; 0,14.

Середнє арифметичне різниць:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru

Середнє арифметичне значення результатів вимірювань буде:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru

Найвірогідніші похибки.

Дуже часто при виконанні геодезичних вимірювань дійсне значення величини, яку визначають Х бува невідоме. У такому випадку за точне значення величини приймають її середнє арифметичне значення L (найвірогідніше значення). Різниці між окремими вимірюваннями і найвірогіднішим значенням називають найвірогіднішими похибками V = класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru - L. Ці похибки характеризуються слідуючими властивостями:

1. Сума найвірогідніших похибок дорівнює нулю класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru

2.Сума квадратів найвірогідніших похибок є мінімум класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru = min. Середня квадратична похибка одного вимірювання визначається за формулою: класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru , де

V - найвірогідніші похибки вимірювань;

n - кількість вимірювань.

Похибка середнього арифметичного визначається за формулою:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru

Таблиця 5

Визначення властивостей найвірогідніших похибок

№ Вимірювання Варіанти
00 - 19 20 - 39 40 - 59 60 - 79 80 - 99
76°35¢56¢¢ 36°22¢37¢¢ 72°46¢28¢¢ 45°56¢08¢¢ 18°41¢52¢¢
76°35¢48¢¢ 36°22¢41¢¢ 72°46¢34¢¢ 45°56¢26¢¢ 18°41¢34¢¢
76°35¢52¢¢ 36°22¢46¢¢ 72°46¢16¢¢ 45°56¢14¢¢ 18°41¢49¢¢
76°35¢44¢¢ 36°22¢39¢¢ 72°46¢27¢¢ 45°56¢39¢¢ 18°41¢57¢¢
76°35¢54¢¢ 36°22¢52¢¢ 72°46¢42¢¢ 45°56¢17¢¢ 18°41¢28¢¢
76°35¢47¢¢ 36°22¢27¢¢ 72°46¢33¢¢ 45°56¢29¢¢ 18°41¢36¢¢
76°35¢53¢¢ 36°22¢36¢¢ 72°46¢21¢¢ 45°56¢45¢¢ 18°41¢28¢¢
76°35¢46¢¢ 36°22¢27¢¢ 72°46¢18¢¢ 45°56¢36¢¢ 18°41¢42¢¢
76°35¢52¢¢ 36°22¢43¢¢ 72°46¢31¢¢ 45°56¢14¢¢ 18°41¢51¢¢
76°35¢48¢¢ 36°22¢52¢¢ 72°46¢50¢¢ 45°56¢32¢¢ 18°41¢43¢¢
  aсер= aсер= aсер= aсер= aсер=

Приклад. Необхідно визначити:

1. Середнє арифметичне значення кута;

2. Середню квадратичну похибку окремого вимірювання;

3. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного;

4.Граничну похибку.

Таблиця 6

Рішення

Вимірювання Результати вимірювань Відхилення від вірогідного відхиленняі,V Квадрати відхилень, V2
22°27¢38¢¢ -2¢¢ 4¢¢
22°27¢56¢¢ +16¢¢ 256¢¢
22°27¢41¢¢ +1¢¢ 1¢¢
22°27¢33¢¢ -7¢¢ 49¢¢
22°27¢27¢¢ -13¢¢ 169¢¢
22°27¢39¢¢ -1¢¢ 1¢¢
22°27¢44¢¢ +4¢¢ 16¢¢
22°27¢34¢¢ -6¢¢ 36¢¢
22°27¢52¢¢ +12¢¢ 144¢¢
22°27¢36¢¢ -4¢¢ 16¢¢
n = 10 aсер =22°27¢40¢¢ класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru 692°

При визначенні одержали:

1. Середнє арифметичне значення кута a = 22°27¢40²

2. Середня квадратична похибка окремого вимірювання:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru ²

3. Середня квадратична похибка середнього арифметичного:

класифікація і властивості похибок вимірювань - student2.ru ²

4. Гранична похибка: Dгр = 3m = 3 ´ 9 = 27²; Dгр = 2m = 2 ´ 9 = 18².

Список рекомендованої літератури

Основна

1. Баршай С.Е., Нестеренок В.Ф., Хренов Л.С. Инженерная геодезия. -Минск: Вьішейшая школа, 1976. -400 с.

2. Булгаков Н.П., Рьівкина Е.М., Федотов Г.А. Прикладная геодезия. - М.: Недра, 1990.-416с.

3. Павлів П.В. Геодезія.-К: ІЗМН., 1997.-200с.

4. Шилов П.И., Федоров В.И. Инженерная геодезия и азрогеодезия. - М.: Недра, 1971.-384с.

Додаткова

5. Голубкін В.М., Соколова Н.І., Палехін І.М., Соффер М.І. Геодезія. -Київ. 1970.-444с.

6. Дубов С.Д., Поляков А.Н. Геодезия. - М: Агропромиздат, 1988.- 238 с.

7. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Т. Геодезия. - М.: Недра, 1980. -616с.

8. Хейфец Б.С., Данилович Б.Б. Практикум по инженерной геодезии. - М. 1979.-332с.

Мартиненко Володимир Олександрович

Інженерна геодезія

Частина 1

Методичні вказівки щодо самостійної роботи

Суми, РВВ, Сумський національний аграрний університет, вул. Кірова, 160

Підписано до друку: 2009 р. Формат А5: Гарнітура Times New Roman Cyr

Тираж: примірників Замовлення __ № _______ Ум.друк. арк. 0,92

Наши рекомендации