Лабораторная работа № 6. ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Цель работы: Научиться решать задачи линейной оптимизации с помощью надстройки Поиск решения.
Задание(в соответствии с индивидуальным вариантом)
1. Изучить теоретические вопросы по теме лабораторной работы (раздел 7.2).
2. Решить задачу «Линейная оптимизация».
Вариант 1.
Магазин реализует три вида продукции П1, П2, П3,. для этого используются два ограниченных ресурса – полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости составляет 450 м2, и рабочее время работников магазина – 600 человеко-часов. Товарооборот должен быть не менее 240 000 у.е. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющего максимум прибыли. Затраты ресурсов не реализацию и полученная при этом прибыль представлены в таблице ниже:
| Ресурсы | Затраты ресурсов на реализацию, тыс.у.е. | Объем ресурсов | ||
| П1 | П2 | П3 | ||
| Полезная площадь, м2 | 1,5 | |||
| Рабочее время человеко-час. | 1,5 | |||
| Прибыль |
Вариант 2.
Предприятие выпускает продукцию четырех видов П1–П4, для изготовления которой используются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и оборудование. Нормы расхода каждого вида ресурса на изготовление единицы каждого вида продукции приведены в таблице ниже:
| Ресурс | Вид продукции | Объем ресурса | |||
| П18 | П2 | П3 | П4 | ||
| Трудовой | |||||
| Сырье | |||||
| Оборудование |
Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, равна: для продукции П1 – 60 у.е., для П2 – 70 у.е., для П3 – 120 у.е. и для П4 – 130 у.е. Определить оптимальный план производства каждого вида продукции, максимизирующий прибыль данного предприятия.
Вариант 3.
Двум погрузчикам разной мощности не более чем за 24 часа нужно погрузить на первой площадке 230 тонн, на второй – 168 тонн. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10 т в час, на второй – 12 т в час. Второй погрузчик на каждой площадке может выгрузить по 13 т в час. Стоимость работ, связанных с погрузкой одной тонны, первым погрузчиком на первой площадке – 8 у.е., на второй – 7 у.е., вторым погрузчиком на первой площадке – 12 у.е., на второй – 13 у.е. Необходимо составить план работы, т. е. найти, какой объем работ должен выполнить каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной. Следует учесть, что по техническим причинам первый погрузчик на второй площадке должен работать не более 16 часов.
Вариант 4.
Цех выпускает два вида продукции, используя два вида полуфабрикатов. Продукция используется при комплектовании изделий, при этом на каждую единицу продукции первого вида требуется не более двух единиц продукции второго вида. Нормы расходов полуфабрикатов каждого вида на единицу выпускаемой продукции, общие объемы полуфабрикатов и прибыль от единицы каждой продукции представлены в таблице ниже. Определить план производства, доставляющий максимум прибыли.
| Полуфабрикаты | Затраты ресурсов на реализацию, тыс. у.е. | Объем полуфабриката | |
| П1 | П2 | ||
| Прибыль, у.е. |
Вариант 5.
На основании информации, которая приведена ниже в таблице, составить план производства, максимизирующий объем прибыли.
| Ресурсы | Затраты ресурсов на единицу продукции | Наличие ресурсов | |
| А | Б | ||
| Труд | |||
| Сырье | |||
| Оборудование | |||
| Прибыль на единицу продукции |
Вариант 6.
Исходя из специализации и своих технологических возможностей, предприятие может выпускать 4 вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объем ресурсов (в расчете на трудовую неделю), расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и цена, полученная за единицу продукции, приведены ниже в таблице. Требуется определить план выпуска, доставляющий предприятию максимум выручки.
| Ресурсы | Выпускаемая продукция | Объем ресурсов | ||||
| П1 | П2 | П3 | П4 | |||
| Р1 | Трудовые ресурсы, человеко-час | |||||
| Р2 | Полуфабрикаты, кг | |||||
| Р3 | Станочное оборудование, станко-час | |||||
| Прибыль, у.е. |
Вариант 7.
Предприятию предложен на выбор выпуск трех новых изделий, за счет которых можно было бы расширить номенклатуру продукции при тех же запасах ресурсов. Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции для этих изделий представлены в таблице ниже. Определить из предложенных видов изделия, выгодные для выпуска предприятием.
| Ресурсы | Наличие ресурсов | Затраты на одно изделие | ||
| А | Б | В | ||
| Труд | ||||
| Сырье | ||||
| Оборудование | ||||
| Прибыль на одно изделие |
Вариант 8.
Необходимо составить диету, состоящую из двух продуктов: А и Б. дневное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира, но и не менее 300 калорий. В одном килограмме продукта А содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а в одном килограмме продукта Б – 4 единицы жира и 200 калорий. При этом цена одного килограмма продукта А равна 15 у.е., а цена одного килограмма продукта Б – 25 у.е. Какое количество продуктов в день необходимо употребить при соблюдении диеты, чтобы вложенные средства были минимальны?
Вариант 9.
Для выпуска четырех видов продукции Р1, Р2, Р3, Р4 на предприятии
используют три вида сырья С1, С2, С3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции приведены в таблице ниже. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыть предприятия.
| Вид сырья | Запасы сырья | Вид продукции | |||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | ||
| С1 | |||||
| С2 | |||||
| С3 | |||||
| Прибыль |
Вариант 10.
Фабрика выпускает три вида тканей, причем суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей первого вида, 70 м – второго, 60 м –третьего. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 ед. сырья и 790 ед. электроэнергии, расход которых на 1 метр тканей представлен в таблице ниже.
Цена за 1 м ткани вида I равна 80 у.е., II – 70 у.е., III – 60 у.е. Определить, сколько метров ткани каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.
| Ресурсы | Ткани | ||
| I | II | III | |
| Оборудование | |||
| Сырье | |||
| Электроэнергия |
Вариант 11.
Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит: обычные и улучшенные. При этом производятся две основные операции – прессование и отделка. Какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих (см. таблицу) ограничениях на ресурсы (материал, время, затраты).
| Затраты | Партия из 100 плит | Имеющиеся ресурсы на месяц | |
| обычных | улучшенных | ||
| Материал, кг | |||
| Время на прессование, час | |||
| Время на отделку, час | |||
| Средства, у.е. |
Вариант 12.
Фирма производит два вида продукции: столы и стулья. Для изготовления одного стула требуется 3 кг древесины, а для изготовления одного стола – 7 кг. На изготовление одного стула уходит 2 часа рабочего времени, на изготовление стола – 8 часов. Каждый стул приносит прибыль, равную 1 у.е., а каждый стол – 3 у.е. Сколько стульев и сколько столов должна изготовить эта фирма, если она располагает 420 кг древесины и 400 часами рабочего времени и хочет получить максимальную прибыль?
Вариант 13.
Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 у.е., а улучшенный – 4 у.е. Какие наборы удобрений и сколько нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Вариант 14.
Для изготовления изделий типа А1 и А2 склад может выделить не более 80 кг металла. Деталей типа А1 завод может изготовить за сутки не более 30 штук, типа А2 – не более 40 штук. Стоимость одного изделия типа А1 составляет 3 у.е., а типа А2 – 5 у.е. На изготовление одного изделия типа А1 идет 2 кг металла, типа А2 – 1 кг. Требуется составить такой план выпуска изделий, который позволит заводу получить максимальную прибыль.
Вариант 15.
Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуются 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй модели равна $30 и $20 соответственно. Определите оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.
Вариант 16.
Фирма выпускает продукцию двух видов. Трудоемкость изготовления продукции первого вида вдвое выше изготовления продукции второго вида. Если бы фирма выпускала только продукцию первого вида, суточный объем производства мог бы составить 60 шт. Суточный объем сбыта продукции обоих видов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи продукции первого вида равна $8, а второго вида – $5. Определите, какое количество продукции каждого вида следует изготавливать, чтобы прибыль была максимальной.
Вариант 17.
Завод выпускает изделия трех моделей. Для их изготовления используются два вида ресурсов, запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели даны в таблице ниже:
| Ресурс | Расход ресурсов на одно изделие | ||
| Модель 1 | Модель 2 | Модель 3 | |
| Ресурс 1 | |||
| Ресурс 2 |
Трудоемкость изготовления изделия модели 1 вдвое больше, чем изделия модели 2, и втрое больше, чем изделия модели 3. Численность рабочих позволяет выпускать 1500 изделий модели 1. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей 1, 2 и 3 соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей 1, 2 и 3 должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей 1, 2 и 3 составляет $30, $20 и $50 соответственно.
Определите программу выпуска изделий, приносящую максимальную общую прибыль.
Вариант 18.
Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:
| Станок | Время обработки одного изделия, час | |||
| Тип 1 | Тип 2 | Тип 3 | Тип 4 | |
Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для первого и второго станка соответственно. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для первого станка и 380 машино-часов – для второго станка. Цена изделий типов 1, 2, 3 и 4 равна $65, $70, $55 и $45 соответственно.
Определите программу выпуска изделий, приносящую максимальную общую прибыль и отобразите эту программу с помощью диаграммы.
Вариант 19.
Фирма выпускает два типа автомобильных деталей. Она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка фирмы:
| Тип станка | Производительность станочного парка фирмы, шт/час | |
| деталь 1 | деталь 2 | |
| токарный | ||
| сверлильный | ||
| шлифовальный |
Каждая отливка, из которой изготавливают деталь типа 1, стоит $2. Стоимость отливки для детали типа 2 – $3. Продажная цена деталей равна соответственно $5 и $6. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков $20, $14 и $17,5.
Предположив, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей типа 1 и 2, определите программу выпуска изделий, приносящую максимальную общую прибыль.
Вариант 20.
Птицеводческая ферма насчитывает 20 000 цыплят 8-недельного возраста. Недельный рацион цыплят составляет 1 фунт. Кормовой рацион состоит из трех ингредиентов и должен удовлетворять следующим требованиям:
| Ингредиент | Содержание питательных веществ ингредиентов, фунт. | Стоимость, $/фунт | ||
| кальций | белок | клетчатка | ||
| Известняк | 0,38 | 0,04 | ||
| Зерно | 0,001 | 0,09 | 0,02 | 0,15 |
| Соевые бобы | 0,002 | 20,5 | 0,08 | 0,4 |
Смесь из этих ингредиентов должна содержать:
- не менее 0,8 %, но не более 1,2 % кальция;
- не менее 22 % белка;
- не более 5 % клетчатки.
Определите количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, соблюдая требования к ее питательности. 1фунт = 0,45 кг.
Вариант 21.
Фирма специализируется на производстве мебели. Она может производить три типа мебели – А, В, С, что требует различных затрат на каждой стадии производства:
| Производственный участок | Затраты труда, чел.-ч | ||
| А | В | С | |
| Лесопилка | |||
| Сборочный цех | |||
| Отделочный цех |
В течение недели можно планировать работу на лесопилке на 360 чел-ч, в сборочном цехе – на 520 чел-ч и в отделочном цехе – на 220 чел-ч. Прибыль от продажи мебели типов А, В, С составляет 9, 11 и 15 долларов соответственно. Для выполнения обязательств по организации интерьера гостиниц необходимо производить, по крайней мере, 10 штук мебели типа С еженедельно. Найти оптимальный план производства.
Вариант 22.
Фирма выпускает продукцию двух видов. Трудоемкость изготовления продукции первого вида вдвое выше изготовления продукции второго вида. Если бы фирма выпускала только продукцию первого вида, суточный объем производства мог бы составить 80 шт. Суточный объем сбыта продукции обоих видов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи продукции первого вида равна $10, а второго вида – $5. Определите, какое количество продукции каждого вида следует изготавливать, чтобы прибыль была максимальной.
Вариант 23.
Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:
| Станок | Время обработки одного изделия, час | |||
| Тип 1 | Тип 2 | Тип 3 | Тип 4 | |
Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $15 и $20 для первого и второго станка соответственно. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для первого станка и 400 машино-часов – для второго станка. Цена изделий типа 1, 2, 3 и 4 равна $55, $70, $75 и $80 соответственно.
Определите программу выпуска изделий, приносящую максимальную общую прибыль и отобразите эту программу с помощью диаграммы.
Вариант 24.
Фирма выпускает два типа автомобильных деталей. Она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка фирмы:
| Тип станка | Производительность станочного парка фирмы, шт./час | |
| деталь 1 | деталь 2 | |
| токарный | ||
| сверлильный | ||
| шлифовальный |
Каждая отливка, из которой изготавливают деталь типа 1, стоит $4. Стоимость отливки для детали типа 2 – $6. Продажная цена деталей равна $8 и $10 соответственно. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков $20, $14 и $17,5 соответственно.
Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей типа 1 и 2, определите программу выпуска изделий, приносящую максимальную общую прибыль.
Вариант 25.
Для получения удобрений видов 1 и 2 используются химические вещества A, B, C, D, требования к содержанию которых в удобрениях приведены в таблице.
| Вид удобрения | Требования к содержанию химических веществ |
| не более 50 % вещества А не более 30 % вещества В | |
| от 20 до 30 % вещества В не менее 35 % вещества С не более 45 % вещества D |
Характеристики и запасы минералов, используемых для производства химических веществ A, B, C, D, указаны в таблице ниже:
| Минерал | Максимальный запас, т | Состав, процент | Цена, у.е./т | |||
| A | B | C | D | |||
Цена одной т удобрения вида 1 равна 420 у.е., цена 1 т удобрения вида 2 – 450 у.е. Необходимо максимизировать прибыль от продажи удобрений видов 1 и 2.
Вариант 26.
Фирма выпускает два вида строительных материалов: А и В. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства материалов используются два исходных продукта: I и II. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 10 и 15 тонн соответственно. Расходы продуктов I и II на 1 тонну соответствующих материалов приведены в таблице.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на материал В никогда не превышает спроса на материал А более чем на 3 т. Кроме того, спрос на материал А никогда не превышает 5 т в сутки. Оптовые цены одной тонны материалов равны: 2500 у.е. – для В и 4300 у.е. – для А. Какое количество материала каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным?
| Исходный продукт | Расход исходных продуктов, т (на одну тонну материалов) | Максимально возможный запас, т | |
| Материал А | Материал В | ||
| I | 4,5 | 4,2 | |
| II | 1,5 |
Вариант 27.
Предприятие производит два типа изделий: изделие А и изделие Б. На производство изделия А расходуется 4 единицы условного сырья, на изделие Б расходуется 7 единиц условного сырья. На одну рабочую смену предприятию требуется 22 единицы условного сырья.
Для изготовления изделия А требуется 8 рабочих, а для изготовления изделия Б требуется 5 рабочих. Общее количество рабочих на предприятии составляет 30 человек.
Транспортные расходы на перевозку изделия А составляют 3 условные единицы, на перевозку изделия Б составляют 4 условные единицы. Общие транспортные расходы в течение рабочего дня не должны превышать 20 условных единиц.
Прибыль от реализации одного экземпляра продукта А составляет 7 денежных единиц, прибыль от реализации одного экземпляра продукта Б составляет 6 денежных единиц.
С учетом заданных ограничений на ресурсы рассчитайте оптимальное количество изделий А и изделий Б, производимых за одну рабочую смену, в целях получения предприятием максимальной прибыли.
Вариант 28.
Начальнику транспортного цеха нефтеперерабатывающего завода поступила заявка на поставку 414 тонн бензина, 214 тонн керосина и 735 тонн нефти одним железнодорожным эшелоном. В распоряжении начальника имеются цистерны для железнодорожной перевозки горючесмазочных материалов ёмкостью 60,40,27 и 16 тонн.
Сколько и каких цистерн надо подать под заливку соответственно бензином, керосином и нефтью, чтобы получился состав длиной не более 30 вагонов и в цистернах остался минимальный объем свободного пространства.
Вариант 29.
Кондитерская фабрика производит несколько видов конфет: A, B и C. Известно, что реализация 10 килограммов дает прибыль: конфет А – 9 руб., конфет В – 10 руб., конфет С – 16 руб.
Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, какого вида конфет и сколько требуется произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной.
Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице ниже:
| Сырье | Нормы расхода сырья, кг | Запас сырья, кг | ||
| А | В | С | ||
| Какао | ||||
| Сахар | ||||
| Наполнитель | ||||
| Прибыль |
Вариант 30.
Перед менеджером гостиницы стоит задача расселения постояльцев. На этот раз прибыло 425 человек. В гостинице имеются одно-, двух- и трёхместные номера. Койко-мест в гостинице достаточно для всех прибывших. Нужно определить, какое количество одно-, двух- и трёхместных номеров потребуется для полного расселения постояльцев.