Тема: Исследование функции на непрерывность

Для исследования функции на непрерывность необходимо:

1. Найти область определения функции;

2. Рассмотреть односторонние пределы в точках, где функция не существует; если функция кусочная, то рассмотреть односторонние пределы в точках «склейки»;

3. Исследовать функцию на бесконечности;

4. Построить эскиз графика функции.

Для классификации точек разрыва функции можно пользоваться таблицей, приведенной ниже.

Пусть – заданная функция, – исследуемая точка, – соответственно левый и правый пределы функции.

Тип разрыва	Условия
Функция непрерывна
Устранимый разрыв
Разрыв первого рода (скачок)	– конечны
Разрыв второго рода

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Именно в ней мы должны найти односторонние пределы (левосторонний и правосторонний).

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции и обозначается .

· Если отыскивается предел функции в точке при условии, что и , то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции и обозначается .

Найдем односторонние пределы в точке .

· Если левосторонний предел и правосторонний предел функции в точке существуют, но не равны между собой, то есть то точка называется точкой разрыва первого рода.

Согласно теории, точка является точкой разрыва первого рода, то есть в ней функция претерпевает скачок.

Далее исследуем поведение функции на бесконечности, для этого найдем пределы при

Следовательно, – прямая, которая является для функции горизонтальной асимптотой.

Сделаем эскиз графика.

Пример 2. Задана функция .

Областью определения функции является множество . Действительно, функция не существует в единственной точке , следовательно, эта точка и будет точкой разрыва. Определим с помощью односторонних пределов тип разрыва в этой точке.

· - это неопределенность, которую можно раскрыть, разложив на множители числитель и знаменатель.

· Если в точке функция имеет левосторонний и правосторонний пределы, и эти пределы равны между собой, но их значения не совпадают со значением функции в этой точке, то эта точка называется точкой устранимого разрыва:

Делаем вывод, что точка будет точкой устранимого разрыва.

Графиком функции является прямая с выколотой точкой при .

Построим график функции, для этого подберем кроме точки (3,1) еще одну произвольную. Пусть это будет (0,–2).

Сделаем эскиз графика функции.

Устранимый разрыв можно ликвидировать, если доопределить функцию в точке разрыва, задав:

Пример 3. Функция имеет две точки разрыва: и . Найдем односторонние пределы в этих точках.

Рассмотрим Разложив знаменатель на множители и сократив, получим следующее: – это гипербола, с точками разрыва и .

Тогда

Делаем вывод, что точка является точкой устранимого разрыва.

· Если в точке не существует левосторонний или правосторонний предел функции (или оба одновременно), то эта точка называется точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Найдем предел функции на бесконечности:

Следовательно, прямая y= 0 будет горизонтальной асимптотой для заданной функции.

Построим график функции:

Рассмотрим примеры кусочных функций.

Пример 4.

Функции являются непрерывными всюду, кроме, может быть, точек «склейки», то есть в , . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:

При функция определена и равна нулю, а функция в эту точку не заходит по условию.

· Функция называется непрерывной в , если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, то есть

Следовательно, точка x= 0 является точкой непрерывности функции.

Делаем вывод, что точка x= 2 является точкой разрыва первого рода и непрерывна слева (по условию).

Строим график склеенной функции:

Пример 5.

Элементарные непрерывные функции и не определены в точке , а функции и «склеены» в точке , которая, быть может, также является точкой разрыва. Исследуем поведение функции в этих точках.

Точка является точкой устранимого разрыва.

При функция принимает значение, равное 2. Следовательно, точка является точкой непрерывности.

Строим график заданной функции:

Пример 6.

Функция задана несколькими аналитическими выражениями, поэтому точки разрыва могут быть как в точках склейки , , так и в точках , , , где знаменатели дробей обращаются в нуль.

Сделаем некоторые упрощения: Далее будем рассматривать функцию с точками разрыва , .

Исследуем все точки:

Точка – точка разрыва второго рода.

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка – точка разрыва первого рода, функция непрерывна справа (по условию).

Точка является точкой устранимого разрыва.

Точка является точкой разрыва второго рода.

Исследуем поведение функции при , а функции при .

Сделаем эскиз графика функции: