Скалярное произведение

Разложение вектора по ортам координатных осей.

Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Выделим на координатных осях Ох, Оy и Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Проведем через ко­нец вектора плоскости, парал­лельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно че­рез , , . Получим прямо­угольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .

Тогда, используя определение суммы векторов, последовательно получаем.

, , и, следовательно

.

(2.2)

Учитывая, что вектор равен произведению его модуля на орт, получаем

, , .

(2.3)

Обозначим

, ,

тогда из равенств (2.2) и (2.3) следует, что

(2.4)

Представление вектора в виде (2.4) называется разложением вектора по базису , , .

(2.5)

, ,

(2.6)

, ,

(2.7)

Координаты вектора в базисе , , обозначим x, у, z. Таким образом, координаты точки М (x, у, z) – это также и координаты , поэто­му = х + y + z .

Направленные прямые, проходящие через точку О и сонаправленные с базисными векторами , , называются осями координат соответ­ственно Ох, Оy и Оz. Координаты векто­ра ( x, у, z ) – это проекции вектора на оси Ох, Оy и Оz.

Рассмотрим две точки А(x₁ , y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂), радиус-век­торы которых и . Так как = (x₂– x₁, y₂– y₁, z₂– z₁), то приходим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответству­ющие координаты его начала.

Пример 2.1

Найти вектор , если А(5;8;–1), В(1;3;2).

Решение

=(1–5; 3–8; 2–(–1)) Þ =(– 4; –5; 3) или = .

Для случая плоскости декартова система координат определя­ется началом координат О и двумя базисными векторами , .

Соответственно применяются записи для точки плоско­сти М (х, у) и вектора в плоскости (x, у).

Пример 2.2

Найти орт вектора .

Решение

Из решения получаем .

Векторы и коллинеарны (параллельны). Из равенства векторов и следует равенство соответствующих координат b_x=la_x, b_y=la_y, b_z=la_z. Из этих трех равенств получается условие коллинеарности векторов и :

(2.8)

Пример 2.3

При каких значениях a и b векторы и коллинеарны?

Решение

Из коллинеарности векторов и следует пропорциональность их координат

Þ a = , Þ b = – 6.

Сумма и разность векторов и определяется по формулам

.

Сумма векторов и , начала которых совмещены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы и . Разность этих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограмма, причем начало этого вектора находится в конце вектора , а конец – в конце вектора (см. рис.1.2).

Скалярное произведение

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение так: × или . Таким образом, по определению,

,

(2.9)

где j – угол между векторами и .

Свойства.Рассмотрим некоторые важные свойства скалярного произведения:

1. .

2. .

3. .

4. =0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны (один из них может быть нулевым вектором)

5. .

6. .

Свойства 1), 4), 5) следуют непосредственно из определения скалярного произведения.

Докажем свойство 6. По определению, . Но , откуда . Совершенно аналогично доказывается, что .

Свойства 2) и 3) доказываются с помощью свойства 6) и свойств проекций. Действительно,

;

.

Величина называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из свойства 5) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля = .

Вычисление.Выведем формулу вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Рассмотрим базис , , . Скалярные произведения одноименных векторов базиса равны единице: =1, так как это скалярные квадраты единичных векторов. Скалярные произведения различных векторов базиса равны нулю:

= 0, так как это скалярные произведения

ортогональных векторов.

Пусть , . Используя свойства 2 и 3 скалярного произведения, последовательно получаем

+ = +

+ + +

+ = .

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат

.

(2.10)

В частности, , поэтому, учитывая свойство 5) скалярного произведения, получаем | |= (см. формулу (2.5).

Пример 2.1

Вычислить , если | |=3, | |= 4, .

Решение

= = = + × – = 9 + –32 = –17.

Пример 2.2

Найти скалярное произведение векторов

и .

Решение

По формуле (2.10), получаем = (–1)× 2 + 3×0 + 2×1 = 0. Отметим, что из равенства нулю скалярного произведения, следует, что векторы и ортогональны.

Приложения.Рассмотрим некоторые приложения скалярного произведения

1. Вычисление угла между векторами и :

(2.11)

Пример 2.3

Найти внутренний угол при вершине С в треугольнике АВС, если A(1;–2; 3), B(–2; –1; 1), C(–3; 4; 5).

Решение

Искомый угол a это угол между векторами =(4; –6;–2)и = (1; –5;–4); тогда

сos a = Þ

Þ a = p/6.

2. Вычисление проекции вектора на вектор :

(2.12)

Пример 2.4

Найти проекцию вектора на вектор из примера 2.3.

Решение

.

3. Условие ортогональности векторов и :

.

(2.13)

Пример 2.5

При каком значении вектор ортогонален вектору ?

Решение

Запишем условие ортогональности (2.13) для векторов и : 1×2 + (–a)×1 + + 2×(–3) = 0. Из этого уравнения получаем значение = – 4.

4. Вычисление работы при прямолинейном перемещении точки из положения М в положение N под действием силы .

Пример 2.6

Вычислить работу, которую производит сила =(3; –5; –6) на отрезке пути AB, если A(1; –3; –2), B(3; –7; –1).

Решение

= (2; – 4; 1); А = = 3×2 + (–5)×(–4) + (–6)×1 = 20 (ед. работы).