Скалярное произведение векторов

57.Определить угол между векторами Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru .

58. На плоскости дан треугольник с вершинами О(0; 0), А(2a; 0) и В(a; –a). Найти угол, образованный стороной ОВ и медианой ОМ этого треугольника.

59. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между ними.

60. Даны векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru . Определить Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru .

61. Вычислить: 1) Скалярное произведение векторов - student2.ru , если Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru — единичные векторы с углом между ними 30°; 2) Скалярное произведение векторов - student2.ru , если Скалярное произведение векторов - student2.ru , b = 4 и угол Скалярное произведение векторов - student2.ru °.

62. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru , где Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru – единичные векторы, угол между которыми 60°.

63. В треугольнике с вершинами А(–2; 0). В(6; 6) и С(1; –4) определить длину биссектрисы АЕ.

64. Вершины треугольника находятся в точках А(–8; –1; –4), В(–7; 3; 4) и С(8; –3; 4). Найти координаты центра тяжести треугольника, величину угла А и направляющие косинусы биссектрисы угла А.

65. Определить углы треугольника АВС с вершинами А(2; –1; 3), В(1; 1; 1) и С(0; 0; 5).

66. Даны векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru , причем a = 2, b = 4, а угол Скалярное произведение векторов - student2.ru °. Определить угол между медианой Скалярное произведение векторов - student2.ru треугольника АОВ и стороной Скалярное произведение векторов - student2.ru .

67. Из вершины прямоугольника со сторонами 6см и 4см проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол jмежду ними.

68. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(–3; –2; 0), В(3; –3; 1) и С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину D и угол между векторами Скалярное произведение векторов - student2.ru .

69. Даны точки А(3; 3; –2), В(0; –3; 4), С(0; –3; 0) и D(0; 2; –4). Построить векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru и Скалярное произведение векторов - student2.ru и найти Скалярное произведение векторов - student2.ru .

70. В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 2) М и N – середины сторон ВС = 2 и АС = 2. Острый угол трапеции 60°. Определить угол между векторами Скалярное произведение векторов - student2.ru .

71. Проекции перемещения движущейся точки на оси координат sx = 2, sy = 1, sz = –2м. Проекции действующей силы Скалярное произведение векторов - student2.ru на оси координат равны Fx = 5H, Fy = 4H, и Fz = 3H. Вычислить работу А силы Скалярное произведение векторов - student2.ru (A = Скалярное произведение векторов - student2.ru ) и угол между силой Скалярное произведение векторов - student2.ru и перемещением Скалярное произведение векторов - student2.ru .

§6. Векторное и смешанное произведения векторов

72. Векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru образуют угол Скалярное произведение векторов - student2.ru . Зная, что Скалярное произведение векторов - student2.ru , вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

73. Даны Скалярное произведение векторов - student2.ru . Вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

74. Даны векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru . Найти координаты векторных произведений: 1) Скалярное произведение векторов - student2.ru , 2) Скалярное произведение векторов - student2.ru , 3) Скалярное произведение векторов - student2.ru .

75. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4), B(1; 0; 6) и C(4; 5; -2).

76. Сила Скалярное произведение векторов - student2.ru = {3; 2; -4} приложена к точке A(2; -1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат.[1]

77. Векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что Скалярное произведение векторов - student2.ru , вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

78. Даны три вектора: Скалярное произведение векторов - student2.ru . Вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

79. Сила Скалярное произведение векторов - student2.ru приложена к точке C(2; -1; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

80. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1) и D(4; 1; 3).

81. Даны Скалярное произведение векторов - student2.ru . Вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

82. Векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru образуют угол Скалярное произведение векторов - student2.ru . Зная, что Скалярное произведение векторов - student2.ru вычислить: 1) Скалярное произведение векторов - student2.ru , 2) Скалярное произведение векторов - student2.ru , 3) Скалярное произведение векторов - student2.ru .

83. Даны точки A(2; -1; 2), B(1; 2; -1) и C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений: 1) Скалярное произведение векторов - student2.ru ; 2) Скалярное произведение векторов - student2.ru .

84. Дан треугольник с вершинами A(1; -2; 8), B(0; 0; 4) и C(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

85. Сила Скалярное произведение векторов - student2.ru приложена к точке M0(4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки A(3; 2; -1).

86. Сила Скалярное произведение векторов - student2.ru приложена к точке A(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки C(2; 4; 0).

87. Вектор Скалярное произведение векторов - student2.ru перпендикулярен к векторам Скалярное произведение векторов - student2.ru , угол между Скалярное произведение векторов - student2.ru равен 30°. Зная что Скалярное произведение векторов - student2.ru , вычислить Скалярное произведение векторов - student2.ru .

88. Установить, компланарны ли векторы Скалярное произведение векторов - student2.ru , если:

1) Скалярное произведение векторов - student2.ru ;

2) Скалярное произведение векторов - student2.ru ;

3) Скалярное произведение векторов - student2.ru .

89. Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

§7. Плоскость и прямая в пространстве

90. Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

91. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам Скалярное произведение векторов - student2.ru .

92. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(3; -1; 2), M2(4; -1; -1), и M3(2; 0; 2).

93. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x - 3y + 2z - 3 = 0.

94. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x - z + 1 = 0, y = 0.

95. Две грани куба лежат на плоскостях 2x - 2y + z - 1 = 0, 2x - 2y + z + 5 = 0. Вычислить объем этого куба.

96. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1(2; 3; -5) параллельно прямой Скалярное произведение векторов - student2.ru

97. составить уравнения прямой, проходящей через точку M0(2; -3; -5) перпендикулярно к плоскости 6x - 3y - 5z + 2 = 0.

98. Даны две точки M1(3; -1; 2) и M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору Скалярное произведение векторов - student2.ru .

99. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3) и M2(3; 1; 2) параллельно вектору Скалярное произведение векторов - student2.ru .

100. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; -2; -7) параллельно плоскости 2x - 3z + 5 = 0.

101. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(1; -1; -2) и M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости x - 2y + 3z - 5 = 0.

102. Установить, что три плоскости x - 2y + z - 7 = 0, 2x + y - z + 2 = 0, x - 3y + 2z - 11 = 0 имеют одну общую точку и вычислить ее координаты.

103. Вычислить расстояние d от точки P(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через три точки M1(1; -1; 1), M2(-2; 1; 3) и M3(4; -5; -2).

104. Даны прямые: Скалярное произведение векторов - student2.ru . при каком значении l они пересекаются?

105. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1; -2; 1) перпендикулярно к прямой Скалярное произведение векторов - student2.ru

106. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M1(-4; -5; 3) и пересекает две прямые: Скалярное произведение векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов - student2.ru

Наши рекомендации