Теорема о существовании обратной матрицы

Пусть А (mxn), B(p,q). При каких условиях на m,n,p,q существуют произведения этих матриц?

Произведением матриц Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется матрица Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , элементы которой определены равенством

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Произведение матриц Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru будем обозначать Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru .

Из определения следует, что произведение Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru совпадает с числом строк матрицы Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru . Это означает, что оба произведения Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru соответственно. Следовательно равенство Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , тогда

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru .

Следовательно Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru .

Может ли произведение 2х ненулевых матриц равняться нулевой?

Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А ∙ В =0, не следует, что А=0, или B=0. Например,

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Ф-лы сокращенного умножения для матриц.

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Распределительное свойство относительно сложения матриц);


Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru .

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Свойство ассоциативности),

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , для любого действительного числа α,

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Свойство дистрибутивности)

Определение линейно зависимых строк (столбцов) матрицы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу)

Определение линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Ранг прямоугольной матрицы.

Ранг столбца (или строки) прямоугольной матрицы чисел равно числу линейно независимых столбцов (или строк) элементов матрицы. Если не существует зависимых столбцов, то ранг матрицы равен числу всех столбцов, и говорят, что матрица имеет полный ранг. Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то говорят, что матрица имеет неполный ранг, и она называется вырожденной.

Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Формулы Крамера

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Ф-ла для обратной матрицы в общем виде.

Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Теорема о существовании обратной матрицы.

Матрица Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется обратной к матрице Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , если Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , где Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru - единичная матрица. Матрица Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Так как равенство Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru возможно лишь для квадратных матриц Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.

Критерий обратимости

Матрица Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Квадратная матрица Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется вырожденной, если Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , и невырожденной, если Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru .

12. Сформулировать условие сеществования и единственности решения СЛАУ:Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

13. Сформулировать теорему об определителях треугольной и диагональной матриц:Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель любой диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

14. Сформулировать теорему об определителе произведения матриц:Определитель произведения квадратных матриц Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru равен произведению определителей матриц-сомножителей, т.е. Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

15. Определить операции с векторами (сумма, разность, произведение вектора на число) и указать их свойства:Суммой двух векторов Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется вектор, идущий из начала вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru в конец вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru при условии, что вектор Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru приложен к концу вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru Правило сложения векторов обладает следующими свойствами:1. Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Коммутативностьсложения)2. Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru (Ассоциативность сложения)3.Существует нулевой вектор Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , такой что Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru для любого вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru . 4.Для любого вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru существует противоположный к нему вектор Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , такой, что Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru . Разностью векторов Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется такой вектор Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , что Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru . Произведением Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru на число Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется вектор Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , коллинеарный вектору Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , имеющий длину Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и направление, совпадающее с направлением вектора Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru в случае Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru и противоположное направлению Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru в случае Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru . В случае, когда Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru , или Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru произведение Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru ; 2. Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru 3. Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

16. Дать инвариантное определение скалярного произведения двух векторов:Скалярным произведением двух ненулевых векторов Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла 𝜑 между ними.

17. Написать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов в декартовой С.К.: Теорема о существовании обратной матрицы - student2.ru

Наши рекомендации