Теорема (существование и вычисление обратной матрицы)
А) Матрица 
обратима 
.
Б) Обратную матрицу можно вычислить по формуле
. (2.3)
Свойства обратной матрицы:
1) 
,
2) 
,
3) если 
и 
обратимые матрицы одного порядка, то матрица 
обратима и 
,
4) 
,
5) 
= 
.
Примеры решения задач
2.2.1.Найти матрицу 
, если 
, 
.
◄ 1) Произведение матрицы 
на число 2 – матрица
.
2) Поместив каждую строку матрицы 
на место столбца с тем же номером, получим транспонированную матрицу 
.
3) Так как размеры матриц 
и 
одинаковые – 
– то определена сумма этих матриц – матрица
. ►
2.2.2.Для матриц 
и 
найти следующие произведения: 
и 
, 
, 
и 
.
◄ 1) Так как (длина строк ) 
(высота столбцов 
) 
, то произведение определено. Матрица имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель . Находим по правилу (2.1) – «строка первого сомножителя на столбец второго»:
.
2) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то произведение 
также определено:
.
Мы видим, что 
, то есть произведение зависит от порядка сомножителей.
3) 
.
4) Так как (длина строк 
) (высота столбцов 
) 
, то матрица определена и имеет столько же строк – 3, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 3, что и второй сомножитель :
.
Так как (длина строк ) (высота столбцов ) 
, то матрица 
определена и имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель :
.►
2.2.3.Пусть – 
-матрица, 
– 
-матрица, 
– 
-матрица. Если а) 
или б) 
, то какими могут быть значения 
и 
?
◄) а) Если , то
(длина строк ) 
(высота столбцов ),
(число строк 
) 
(число строк 
) 
(число строк ),
(число столбцов ) (число столбцов ) 
(число столбцов ).
Таким образом, 
и 
.
б) Если , то 
– 
-матрица,
(длина строк 
) 
(высота столбцов 
),
(число строк 
) (число строк ) 
(число строк ),
(число столбцов ) (число столбцов ) 
(число столбцов ).
Таким образом, и . ►
2.2.4.Проверить, что матрица 
обратима, найти обратную матрицу 
по формуле (2.3), сделать проверку, пользуясь определением обратной матрицы.
◄ Матрица – квадратная, ее определитель
,
следовательно, матрица обратима, то есть обратная матрица существует. Найдем ее по формуле (2.3). Сначала найдем алгебраические дополнения 
элементов матрицы 
:
, 
,
, 
.
Теперь
.
Сделаем проверку
,
то есть 
. Аналогично проверяется (проверьте!), что 
.
Согласно определению (формула (2.2)) найденная матрица является обратной к .►
2.2.5.Проверить, что матрица 
обратима, и найти для нее обратную матрицу.
◄ Найдем определитель матрицы:
Так как 
, то матрица обратима. Найдем обратную матрицу по формуле (2.3). Сначала выпишем и вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
По формуле (2.3) получаем
и, окончательно, 
. ►
2.2.6.Найти 
и 
, если 
– квадратная матрица 
-го порядка с 
.
◄ Матрица 
получается из матрицы умножением каждой строки на число 
. По свойству однородности определителя общий множитель каждой из строк можно вынести за знак определителя:
.
В силу свойства 1) умножения матриц в произведении 
можно не ставить скобки: 
. По свойству 5) произведения 
. Используя свойство 1) обратной матрицы и свойство 5) операции транспонирования, получаем 
.►
2.2.7.Упростить выражение 
, где 
и 
– квадратные матрицы одного порядка.
◄ Используем свойства 2)-4) обратной матрицы, формулу (2.2), свойства операций умножения и транспонирования:
.►