Элементы теории нечетких множеств

Введение элементов теории нечетких множеств в данное учебное по­собие связано с тем, что иногда невозможно заранее получить точные на­дежностные характеристики элементов и блоков разрабатываемой сис­темы. В таких условиях приходится брать несколько надежностных харак­теристик одного элемента, ранжируя их по степени достоверности, и про­водить оптимизацию структуры системы, исходя из определенных крите­риев [3]. Такой подход изложен, в частности, в подразд. 2.5.

1.4.1. Понятие принадлежности и основные операции­ для четких подмножеств

Рассмотрим понятие принадлежности сначала на примере четких множеств.

Пусть Е – множество, А – подмножество Е. Имеется также характе­ристическая функция m_А(х), которую в упрощенном варианте будем счи­тать вероятностью того, принадлежит ли элемент x подмножеству А:

(1.21)

т.е. вероятность для четких множеств принимает только значения 0 и 1 (принадлежит либо не принадлежит).

Предположим, что множество Е состоит из нескольких элементов:

Е = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, (1.22)

а подмножество А – из некоторых элементов множества Е:

А = {x₂, x₃, x₅}. (1.23)

Тогда подмножество А можно записать через элементы множества Е и значения функции m_А(х) (принадлежности элемента подмножеству А).

Пример 1.1. Запишем конкретные значения подмножества А:

А = {(х₁,0), (x₂,1), (x₃,1), (х₄,0), (x₅,1)}. (1.24)

Это означает: элемент x₁ принадлежит подмножеству А с вероятно­стью m_А(х₁) = 0, т.е. не принадлежит подмножеству А, в то время как эле­мент x₂ принадлежит подмножеству А с m_А(х₂) = 1, т.е. принадлежит под­множе­ству А.

Для четких множеств определены несколько операций. Наиболее часто употребляются:

– дополнение

Ā ≡ {x E ||x A},

, , (1.25)

или, если записать эти соотношения через характеристическую функцию принадлежности,

; (1.26)

– пересечение АÇВ или, если определить эту операцию через функ­цию принадлежности,

(1.27)

,

где «×» – логическое умножение;

– объединение АÈВ или, если определить эту операцию через функ­цию принадлежности:

(1.28)

,

где «+» – логическое сложение.

Пример 1.2. Рассмотрим вышеприведенные операции на примере. Пусть имеются множество Е (1.22) и два его подмножества: А (которое уже было рассмотрено в предыдущем примере) и В:

А = {(х₁,0), (х₂,1), (х₃,1), (х₄,0), (х₅,1)} , (1.29)

B = {(х₁,1), (х₂,0), (х₃,1), (х₄,0), (х₅,1)}. (1.30)

Тогда операция пересечения будет выглядеть следующим образом:

АÇВ = {(х₁,0 × 1), (х₂,1× 0), (х₃,1 × 1), (х₄,0 × 0), (х₅,1 × 1)}. (1.31)

Операция объединения соответственно будет записана так:

АÈВ = {(х₁,0 +1), (х₂,1+ 0), (х₃,1+1), (х₄,0 + 0), (х₅,1+1)}. (1.32)

Знаки умножения и сложения соответствуют логическому И и логиче­скому ИЛИ.