Формула полной вероятности

Предположим, что событие В может произойти только с одним из несовместных событий А₁,А₂..., А_n. Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие В). Здесь события А₁,А₂..., А_n — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события В можно рассматривать как сумму произведений событий

По теореме сложения несовместных событий (см. теорему 1) получаем:

Используя теорему умножения вероятностей, находим

(1)

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Пример. Для рассмотренного выше случая с поступлением товара в магазин от трех предприятий зададим численные значения. Пусть от первого предприятия поступило 20 изделий, от второго — 10 и от третьего — 70. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03и 0,05.

Определить вероятность получения некачественного изделия.

РЕШЕНИЕ. Вероятности событий А₁,А₂..., А_n будут соответственно Р(А,) = 0,2; Р(А,) = 0,1; Р(А,) = 0,7.Используя формулу (3.1), находим

P(B) = 0,2 0,02 + 0,1 0,03 + 0,7 0,05 = 0,042.

3.2. Формула Байеса

Пусть событие В происходит одновременно с одним из n несовместных событий А₁,А₂..., А_n. Требуется найти вероятность события А_i, если известно, что событие В произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий (см. теорему 2)

откуда

или

(2)

Формула (2) носит название формулы Байеса.

Пример. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая — 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет при- надлежит второй организации.

РЕШЕНИЕ.. Пусть А₁,А₂..., А_n — события выбора счета соответственно у первой, второй и третьей организации. Вероятности этих событий таковы:

По формуле полной вероятности (см. формулу (1)) определяем вероятность выбора правильно оформленного счета:

По формуле Байеса находим искомую вероятность:

ЗАДАЧА. На автозавод поступили двигатели от 3 моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.

Какова вероятность того, что:

А) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

Б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

РЕШЕНИЕ. Обозначим через А₁, А₂, А₃ события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:

Р(А₁)=0,5; Р(А₂)=0,3; Р(А₃)=0,2.

А) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без деффектов, найдем по формуле полной вероятности:

P(B)=P(A₁)P(B/A₁)+P(A₂)P(B/A₂)+P(A₃)P(B/A₃)=0,5*0,9+0,3*0,8+0,2*0,7=0,83

Б) Если двигатель проработал без дефектов гарантированный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса: