Алгоритм формирования систем координат звеньев

Для каждого звена манипулятора с n степенями свободы этот алгоритм формирует ортонормированную систему координат. Системы координат нумеруются в порядке возрастания от основания к схвату манипулятора. Взаимное расположение соседних звеньев описывается однородной матрицей преобразования размерностью 4х4.

Параметры систем координат звеньев манипулятора Пума
Сочленение i					Пределы измерения
		-90			-160-+160
			431,8 мм	149,09 мм	-225-45
			-20,32 мм		-45-225
		-90		433,07 мм	-110-170
					-100-100
				56,25 мм	-266-266

Рисунок 5.4. Формирование систем координат звеньев

Для манипулятора Пума

Шаг 1. Формирование базовой системы координат.

Сформировать правую ортонормированную систему координат (х₀, y₀, z₀), связанную с основанием, ось z₀ вдоль оси 1-го сочленения к «плечу» манипулятора. Оси х₀ и y₀ выбираются произвольно при условии их перпендикулярности оси z₀.

Шаг 2. Начало и цикл. Для всех i ( i=1,2 … n-1) выполнить шаги 3-6.

Шаг 3. Формирование осей сочленения. Направить ось z_i вдоль оси движения (вращательного или поступательного) i+1-го сочленения.

Шаг 4. Формирование начала i-й системы координат. Расположить начало i-й системы координат на пересечении осей z_i и z_i-1 или на пересечении общей нормали к осям z_i и z_i-1 с осью z_i.

Шаг 5. Формирование оси x_i. Выбрать единичный вектор x_i следующим образом: x_i = ±( z_i-1 × z_i)/ || z_i-1 × z_i || или вдоль общего перпендикуляра к осям z_i-1 и z_i, если они параллельны.

Шаг 6. Формирование оси y_i Положить y_i = +( z_i × x_i)/ ||z_i ×x_i|| , получив тем самым правостороннюю систему координат.

Шаг 7. Формирование системы координат схвата. Как правило, n-е сочленение является вращательным. Сформировать ось z_n, направив ее вдоль оси z_n-1 и от робота. Выбрать ось х_n так, чтобы она была перпендикулярна осям z_n-1 и z_n.

Шаг 8. Определение параметров звеньев и сочленений. Для каждого i

(i =1…n) выполнить шаги 9-12.

Шаг 9. Определение d_i Расстояние d_i – от начала (i-1)-й системы координат до пересечения оси z_i-1 с осью x_i и началом i-й системы координат, отсчитываемой вдоль оси z_i-1. Если i-е соединение – поступательное, то d_i – присоединенная переменная.

Шаг 10. Определение a_i - расстояния между пересечением оси z_i-1 с осью x_i и началом i-й системы координат, отсчитываемой вдоль оси x_i.

Шаг 11. Определение Q_i – угла поворота оси x_{i -1} вокруг оси z_i-1, чтобы она стала сонаправлена с осью x_i. Если i -е сочленение – вращательное, то Q_i-присоединенная переменная.

Шаг 12. Определение α_i – угла поворота оси z_{i -1} вокруг оси x_i, чтобы она стала сонаправлена с осью z_i .

После построения ДХ-координат для всех звеньев можно построить однородные матрицы преобразования, связывающие i-ю и (i-1)-ю системы координат:

^i-1A_i= T_z,dT_z,QT_x,aT_x,α= ×

× = . (5-1)

Преобразуя (3-1), найдем, что матрица, обратная к ^i-1А_i, имеет вид:

, (5-2)

где - константы, а - присоединенная переменная, если рассматриваемое сочленение – вращательное.

Используя матрицу , можно связать однородные координаты р_i точки р относительно i-й системы координат (точка р покоится в i–й системе координат)с односторонними координатами этой точки относительно (i-1)-й системы тсчета, связанной с (i-1)-м звеном. Эта связь устанавливается равенством:

, (5-3)

где и .

Для шестизвенного манипулятора Пума были определены шесть матриц , соответствующие показанным на рис. 5.4. системам координат. Эти матрицы представлены ниже:

,

, ,

,

, ,

,

,

где

; ; ; .

Лекция 6