Анализ и оптимизация решений в детерминированных задачах на основе метода монте-карло (4 часа)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМИТАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО (4 ЧАСА)
Общие указания по выполнению лабораторной работы
1.1 Теоретический и практический материал, необходимый для выполнения данной лабораторной работы, приведён в учебном пособии по данной дисциплине [1]. В описании порядка выполнения лабораторных работ приводятся ссылки на разделы учебного пособия, используемые для выполнения соответствующего этапа работы.
1.2 Материал для лабораторной работ №1 приведён в первой части учебного пособия [1].
Порядок выполнения работы
1.2.1 Изучить алгоритмы имитации случайных величин на основе метода Монте-Карло и методы проверки этих алгоритмов (см. подразделы 3.1, 3.2, приложения 3, 4).
1.2.2 Разработать алгоритмы имитации случайных величин, необходимых для решения задачи моделирования согласно варианту задания. Для случайной величины, заданной графиком плотности распределения, разработать алгоритм имитации, используя метод обратных функций (см. пункт 3.2.1). Для случайной величины, заданной каким-либо стандартным законом распределения (экспоненциальный, равномерный и т.д.), использовать алгоритм имитации, приведенный в учебном пособии (см. пункты 3.2.1, 3.2.3, приложение 4). Выполнить по одному испытанию каждого из алгоритмов. Реализовать разработанные алгоритмы в виде подпрограмм на любом алгоритмическом языке.
1.2.3 Выполнить проверку всех алгоритмов имитации случайных величин, используемых в задании, на основе гистограммы и по критерию «хи-квадрат» (см. пункт 3.2.4).
Для проверки использовать программу, приведенную в пункте 3.2.4, включив в неё подпрограмму для проверяемого алгоритма и внеся другие необходимые изменения, или разработать аналогичную программу на другом языке программирования.
1.2.4 Изучить примеры решения задач моделирования с использованием имитации случайных величин на основе метода Монте-Карло (см. подраздел 3.3).
1.2.5 Согласно варианту задания разработать алгоритм для решения задачи на основе метода Монте-Карло. Использовать разработанные и проверенные подпрограммы имитации случайных величин.
1.2.6 Выполнить три испытания разработанного алгоритма. Реализовать разработанный алгоритм в виде программы на любом алгоритмическом языке.
Варианты заданий
ВАРИАНТ 1
В банк данных, состоящий из двух баз данных (БД1 и БД2), поступают запросы. Время обработки поступившего запроса – экспоненциальная случайная величина со средним значением 15 мс. Затем выполняется поиск запрашиваемой информации в БД1, а если она там не обнаруживается – то в БД2. Информация в БД1 обнаруживается примерно для 60% запросов; для остальных запросов она обнаруживается в БД2. Время поиска информации в каждой из баз данных – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону со средним значением 30 мс. Примерно в 30% случаев объём ответа составляет ровно 300 символов, в 10% – рóвно 6000 символов. В остальных случаях объём ответа – случайная величина (V); на основании наблюдений установлено, что плотность распределения этой величины может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1
Скорость формирования ответа – 6 мс на каждые 80 символов.
Требуется определить:
– среднее время ответа;
– вероятность того, что времяответа превысит 100 мс.
ВАРИАНТ 2
На горно-обогатительном комбинате выполняется очистка и переработка некоторой руды. Руда обрабатывается партиями по 5 тонн. Производительность установок для очистки и переработки руды представляет собой случайную величину, распределенную по гауссовскому закону; средняя производительность установки для очистки – 120 кг/час, установки для переработки – 70 кг/час, среднеквадратическое отклонение производительности – 10 кг/час (для обеих установок).
Доля примесей в руде (S), которые требуется удалить в процессе очистки, представляет собой случайную величину. На основании наблюдений установлено, что плотность распределения этой величины может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2
Примеси, удалённые в ходе очистки, не поступают на переработку. Если в руде содержится более 20% примесей, то примерно в 70% случаев качество очистки оказывается недостаточным, и руда направляется на повторную очистку. Более двух раз очистка, как правило, не требуется.
Требуется определить:
– среднее время обработки одной партии руды;
– вероятность того, что для партии потребуется повторная очистка.
ВАРИАНТ 3
Исследуется прочность защитного кожуха, который будет использован в конструкции некоторого механизма. Известно, что кожух будет подвергаться ударам. Удар будет действовать под углом от 0 до 90 градусов (угол удара можно считать случайной величиной, распределённой по равномерному закону). Сила удара (U) – случайная величина; на основании наблюдений установлено, что плотность распределения этой величины может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.3.
Рисунок 1.3
Установлено также, что при воздействии удара под углом менее 45 градусов защитный кожух выдерживает удар силой до 400 кг, при угле от 45 до 90 градусов – до 300 кг.
Требуется определить:
– вероятность разрушения кожуха при ударе;
– среднееколичество ударов, выдерживаемых кожухом до разрушения.
ВАРИАНТ 4
В научной организации выполняются исследования с использованием установки, в которой имеются радиоактивные элементы. Установка расположена в центре зала круглой формы радиусом 30 м. В зале могут находиться от двух до пяти человек. В ходе работы им приходится перемещаться по залу, однако по соображениям безопасности запрещено приближаться к установке ближе, чем на 10 м. В случае аварии установки происходит незначительный выброс радиоактивности. Дальность действия выброса R (т.е. расстояние от установки, на котором выброс может быть опасным) – случайная величина, плотность распределения которой может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.4.
В случае аварии установки включается сигнализация, и персонал немедленно покидает зал. Поэтому опасную дозу радиации могут получить только те, кто оказался в зоне её действия непосредственно в момент аварии.
Требуется определить:
– вероятность того, что в случае аварии хотя бы один человек получит опасную дозу радиации;
– среднюю дальность выброса.
Рисунок 1.4
ВАРИАНТ 5
В составе автоматизированной системы управления технологическим процессом (АСУТП) используется управляющий вычислительный комплекс (УВК). По запросу от объекта управления УВК выполняет чтение управляющей информации с внешнего запоминающего устройства (ВЗУ) и передает её на объект управления. По каждому запросу может требоваться от одной до четырёх операций чтения информации с ВЗУ. Каждая операция включает поиск информации и её считывание. Время поиска (Tп) – случайная величина. На основании наблюдений установлено, что плотность распределения этой величины может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.5.
Рисунок 1.5
Объём информации, считываемой в каждой операции, представляет собой случайную величину, распределённую по экспоненциальному закону; в среднем этот объём составляет 10000 бит. Скорость считывания – 10 Мбит/с. Допустимое время реакции АСУТП на запрос – не более 7 мс. Если это время будет превышено, то в технологическом процессе произойдет сбой.
Требуется определить:
– среднее время реакции АСУТП на запрос;
– вероятность сбоя в технологическом процессе.
ВАРИАНТ 6
В информационно-справочной системе (ИСС) информация хранится в трёх базах данных (БД1, БД2 и БД3). При поступлении запроса сначала выполняется поиск информации в БД1, где информация обнаруживается в 60% случаев. Если необходимая информация не обнаруживается, то выполняется поиск в БД2, где информация обнаруживается в 80% случаев. Если информация снова не найдена, то она находится в БД3 (всегда).
Обработка запроса состоит в поиске информации в БД и её считывании сдиска. Время поиска - случайная величина, распределённая по равномерному закону в диапазоне от 0,2 до 1,4 мс. Скорость считывания информации с диска – 10 Мбит/с. Объём информации, считываемый по одному запросу (I), – случайная величина; на основании наблюдений установлено, что плотность распределения этой величины может быть приближённо задана графиком на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6
Требуется определить:
– среднее время ответа на запрос;
– вероятность того, чтовремя ответа на запрос превысит 3 мс.
АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧАХ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО (4 ЧАСА)