Через первую трубу бассейн заполняется за 2 часа. Через вторую - за 3. За сколько часов заполнится бассейн через две трубы одновременно

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную х удобно обозначить производительность. Пусть х — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у.

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2 х 3 у . Отсюда .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

() 12 1,

,

,

20 1,

.

Итак, первый рабочий за день выполняет всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20.

3. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за х. Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна х +1, поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

	p	t	A
первая труба
вторая труба

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, 2. Составим уравнение:

110х+110 - 99х=2х²+2х 2х²- 9х-110=0

x_1,2=

Ответ: 10

и решим его.

На изготовление 9 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 45 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

Решение:

	p	t	A
Первый рабочий	+4
второй рабочий

Составим уравнение

+8=

Ответ: 5 деталей.

Два плотника ,работая вместе, могут выполнить задание за 36 ч. Производительность труда первого и второго плотников относится как 3:4 . Плотники договорились работать поочерёдно . Какую часть этого задания должен выполнить второй плотник ,чтобы всё задание было выполнено за 69,3 ч?

Решение:

	Коэффициент пропорци Ональности k	p	t	A
Первый плотник		3k=		1- x
второй плотник		3k=		x

Сначала найдем производительность каждого плотника.
k- коэффициент пропорциональности, 3k - производительность первого плотника, 4 k - производительность второго. 3к+4к=, к = 1/252; значит производительность первого 1/84, а производительность второго - 1/63.
Теперь вводим х - часть работы, которую выполняет второй плотник, тогда 1-х - часть работы, которую выполняет первый плотник. Выражаем время работы каждого и составляем уравнение.

; -21х= -14,7 х=14,7:21 =0,7

Ответ: 0,7

6. Два фермера, работая вместе, могут вспахать поле за 25 часов. Производитель-ность труда у первого и второго относятся как 2:5. Фермеры планируют рабо-тать поочередно. Сколько времени должен проработать второй фермер, чтобы поле было вспахано за 45,5 часов?

Решение:

	Коэффициент пропорци Ональности k	p	t	A
Первый плотник		2k=		1- x
второй плотник		5k=		x

Сначала найдем производительность каждого плотника.
k- коэффициент пропорциональности, 2k - производительность первого плотника, 5 k - производительность второго. 2к+5к=, к = 1/175; значит производительность первого 2/175, а производительность второго - 1/35.
Теперь вводим х - часть работы, которую выполняет второй плотник, тогда 1-х - часть работы, которую выполняет первый плотник. Выражаем время работы каждого и составляем уравнение.

+35 х=45,5; -105х= - 84 х=84:105 =0,8

Ответ: 0,8

7. Каждый рабочий может выполнить заказ за 8 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился 2 рабочий и работу над заказом они довели уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?

	p	t	A
Первый рабочий		х+2
Второй рабочий		х

Пусть 2-ой рабочий работал х часов, тогда 1-ый рабочий работал х +2 часа. производительность каждого рабочего равна
Уравнение:
из чего следует что х+2+х=8 2х=6 х=3

x=3 - время работы 2-го рабочего.
x+2=5 - время работы 1-го рабочего, оно равно общему времени выполнения работы

Ответ: 5

8. Первый из двух рабочих может выполнить всю работу за 24 дня, второй - за 18 дней. После того, как первый проработал 10 дней, к нему присоединился второй. За сколько дней они , работая таким образом, выполнят всю работу?

	p	t	A
Первый рабочий		х+10
второй рабочий		х

Пусть 2-ой рабочий работал х дней, тогда 1-ый рабочий работал х +10 дней. производительность первого рабочего равна , а второго равна .
Уравнение:
из чего следует что 3 х+30+4х=72 7х=42 х=6

x=6 - время работы 2-го рабочего.
x+10=16 - время работы 1-го рабочего, оно равно общему времени выполнения работы

Ответ: 16.

9. Первая из двух труб наполняет бассейн в два раза быстрее, чем другая .Если 1/2 бассейна наполнить одной первой трубой , а оставшуюся одной второй , то для наполнения бассейна потребуется 6 часов. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба ?

	p	t	A
Первая труба	2х
вторая труба	х

Пусть х - производительность 2-ой трубы, тогда производительность 1-ой трубы - 2х.
Работа первой = 1/2, работа второй трубы также = 1/2.
Общее время = 6.
Составляем уравнение:
+= 6 Преобразовываем: и получаем:1+2=24 х или х = 1/4х+1/2х=6
1+2=24х
х = 1/8

время первой трубы = 1/2:(2*)=2
время второй трубы = 1/2: = 4
Проверяем: 2+4=6

время работы первой трубы отдельно: 1/(2*)= 4

Ответ: 4.

10. На изготовление 39 деталей первый рабочий затрачивает на 10 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 104 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

	p	t	A
Первая труба	х+5
вторая труба	х

Пусть х деталей делает второй рабочий в час, тогда х+5 деталей делает первый рабочий в час. Значит, за час второй рабочий делает 104 деталей, а за час первый рабочий делает 39 деталей.
Составляем уравнение:
- = 10. Или

Ответ: 8.

Через первую трубу бассейн заполняется за 2 часа. Через вторую - за 3. За сколько часов заполнится бассейн через две трубы одновременно.

1-ый за 2 часа, то есть в 1 час 1/2 бассейна, 2-ой за 3 часа, то есть в час 1/3 бассейна производительность вместе в час 1/2+1/3=3/6+2/6=5/6

=> 1: 5/6 = 6/5 ВСЮ РАБОТУ ВЫПОЛНЯТ ЗА 6/5 часа, то есть за 1 час 12 минут или 72 минуты

ОТВЕТ: 72 минуты

Через первую трубу бассейн наполняет воду на 3 часа дольше, чем через вторую, и на 2 часа дольше, чем через третью. Если одновременно открыть первый и второй кран, то бассейн наполнится на 2 часа быстрее, чем лишь через третью трубу. За сколько часов бассейн наполняется через первую трубу?

Пусть 1-ый заполнит за Х часов один, тогда 2-ой один за х-3 часа, а 3-ий один за х-2 часа.
Первые 2 вместе в час заполнят часть бассейна, а весь бассейн вдвоем заполнят за времячасов, что по условию на 2 часа меньше, чем время одного 2-го =х-4.
следовательно получаем уравнение такое: => x²- 8x+12=0 => x₁=6; x₂=2 - посторонний, так как не удовлетворяет по условию x > 3.

Ответ:6

Два цеха фармацевтического завода за неделю вместе выпускают 30 тыс. упаковок лекарства. Известно, что для выпуска 20 тыс. упаковок первому цеху требуется на неделю больше времени, чем второму. За сколько недель первый цех выпускает 50 тыс. упаковок лекарства?

Производительность второго цеха обозначим через х, тогда производительность первого цеха составит: 30-х

Составим уравнение: =>


=> х₁=10; х₂=60 , х₂=60 – не удовлетворяет условию задачи так как превышает 50 тыс. упаковок . Значит единственным корнем остаётся: х₁=10, а следовательно первый цех 50 тысяч упаковок выпустит за 5 дней (50:10=5)
Ответ: 5дней.

14. Объемы ежемесячной добычи газа на первом, втором и третьем месторождениях относятся как 7:6:14. планируется уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором- тоже на 14%. на сколько % нужно увеличить месячную добычу газа на третьем месторождении, чтобы суммарный объем добываемого за месяц газа не изменился?

7x⋅0,86=6,02x
6x⋅0,86=5,16x
27x-11,18x=15,82x

Ответ:13 %

Два маляра, работая вместе, могут покрасить забор за 3 часа. Производитель-ности труда первого и второго маляров относятся как 3:5. Маляры договорились работать поочередно. За сколько часов они покрасят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот покрасит половину всего забора?

Учитывая то, что объём выполняемой работы не указан, принимаем весь объём работы за 1.

Пусть 1-ый маляр один покрасил бы весь забор за Х часов, тогда его производительность => производительность 2-го в раза больше.
составим уравнение е:
+==>
+= => x= 8 => x = 8
x=8
Если 1-ый покрасит весь забор за 8 часов, то половину забора он покрасит за 4 часа, а второй на половину забора потратит времени 4⋅==2,4 часа
Поэтому весь забор поочередно они покрасят за 4+2,4=6,4 часа
Ответ: 6,4 час.

Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 5 дней. если бы сначала первый рабочий выполнил четвертую часть работы, а потом второй рабочий выполнил бы оставшуюся часть, то вся работа была бы выполнена за 10 дней. за какое время первый рабочий мог бы в одиночку выполнить всю работу, если известно, что его производительность труда ниже, чем производительность труда второго.

Производительность рабочих во время совместной работы равна =0,2
Если производительность первого рабочего обозначим через x - , то 0,2-x - производительность второго рабочего.
Работая с производительностью x, первый рабочий выполнит часть работы за дней.
Работая с производительностью 0,2-x, второй рабочий выполнит часть работы за дней.
Составим уравнение: +=10
Разделим обе части на 0,25
+=40
40x²-6x+0,2=0

x₁=, x₂=
x₂=данный корень не удовлетворяет условию задачи так как его производительность труда ниже , чем производительность второго.
соответствует x=
Ответ: Всю работу первый в одиночку выполнит за 20 дней.

На изготовление 77 деталей первый рабочий затрачивает на 4часа меньше, чем второй рабочий на изготовлений 99 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько делает деталей второй рабочий.

Обозначим черезх производительность второго рабочего , следовательно производительность первого рабочего будет равна х+2. Из этого следует, что время, затраченное первым рабочим будет равно: , а второго .

Составим уравнение:

+4 = или приведя к общему знаменателю получим: 2х ²- 7х - 99=0
x₁=, x₂=

Ответ: 9

18. На шлифовку 264-х деталей мастер затрачивает на четыре часа меньше, чем ученик на шлифовку 256 таких же деталей. Известно, что мастер за час шлифует на шесть деталей больше, чем ученик. Сколько деталей в час шлифует мастер?

Обозначим черезх производительность мастера , следовательно производительность ученика будет равна х-6. Из этого следует, что время, затраченное мастером будет равно: , а второго .

Составим уравнение:

-=4разделив на 4 получим: -=1 или приведя к общему знаменателю

получим: х ²- 4х - 396=0 x₁=, x₂=

Ответ: 22

19. На изготовление одного и того же количества деталей одному рабочему требуется 306 часов, а другому 272. За сколько часов они могут выполнить этот объём, работая вместе?

Объём работ примем за единицу, так как в условии задачи он не указан.

Производительность первого рабочего будет равна: , а второго .

Определим производительность рабочих в тот момент когда они работают вместе.

+=

Зная объём и производительность рабочих мы можем найти время за которое они вместе выполнят этот объём работы.
t=(часа)
Ответ: 144 часа.

20. Несколько одинаковых автоматов могут выполнить данную работу за 20 часов. Если изъять 6 автоматов, а производительность каждого оставшегося увеличить на 100%, то они выполнят всю работу за 25 ч. Сколько автоматов было первоначально?

Из условия задачи нам известно, что объём нам неизвестен и поэтому примем его за единицу.

Обозначим производительность одного автомата за х, а число автоматов за у. Из этого следует, что вся работа в первом случае будет равна: 20 ху = 1 во втором случае производительность автоматов будет увеличена в 2 раза больше или 2х, а число автоматовуменьшено на 6. Поэтому вся работа будет равна: 25(у-6)2х=50(у-6)х=1

Приравняем первый и второй случай, где получим: 20 у = 50(у-6).

50у-300=20 у или30 у=300; у = 10

Ответ: в начале было 10 автоматов.

21. Николай рассчитал, что он сможет хорошо подготовиться к экзамену, если будет решать по 12 задач в день. Однако ежедневно он перевыполнял свою норму на 8 задач и уже за 5 дней до экзамена решил на 20 задач больше, чем планировал первоначально. Сколько задач решил Николай?

Пусть Николай по плану собирался решать задачи х дней, тогда задач надо было решить 12*х штук
Решал в день по 12+8 =20 задач и справился на 5 дней раньше, то есть за х-5 дней, всего решив за этот срок на 20 задач больше, то есть 12*х+20 задач
Составим уравнение:
12*x+20=(x-5)*20 => 12*x+20=20*x-100 => 8*x=120 => х=15.
x=15 - это число дней, за которые он собирался решать по 12 задач в день
Собирался решить 12*15=180 задач, а решил 20*10=200 задач.
Ответ: 200 задач решил за 5 дней до экзамена.

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через полчаса после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Принимаем за х - скорость велосипедиста, а у – мотоциклиста.
ДО ПЕРВОЙ ВСТРЕЧИ
велосипедист ехал 30+10=40 минут
мотоциклист ехал 10 минут
поэтому скорость мотоциклиста в 4 раза больше, чем скорость велосипедиста., то есть

y = 4*x
ОТ ПЕРВОЙ ДО ВТОРОЙ ВСТРЕЧИ
каждый ехал по 30 минут и проехал половину своей скорости, то есть
велосипедиста x/2 км, а мотоциклиста y/2 = (4x)/2 = 2x км
УРАВНЕНИЕ:
2x=x/2+30
4x=x+60
3x=60 => x=20 => y=4x=4*20=80
Ответ: 80(км).