Основы молекулярной физики и термодинамики

Молекулярно – кинетическая теория идеальных газов

· Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс):

при , ,

где – давление, Па; – объем, м³; – термодинамическая температура, К; – масса газа, кг.

· Закон Гей-Люссака (изобарный процесс):

, или при , ;

· Закон Шарля (изохорный процесс):

, или при , ,

где – температура по шкале Цельсия, °C; и – соответственно объем и давление при ; коэффициент 1/273 К^-1; индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям.

а) б) в)

Рис. 2.

Состояние системы, находящейся в тепловом равновесии, изображают точкой на плоскости в прямоугольной системе координат, на осях которой откладывают в зависимости от условий задачи параметры: p, V (рис. 2. а); V, T (рис. 2. б); p, T (рис. 2. в). Равновесный процесс, в котором участвует газ, изображают в виде графиков между соответствующими параметрами p и V; V и T; p и T. На диаграммах (рис. 2. а, б, в) представлены графики изопроцессов в различных системах координат.

· Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов

,

где – парциальное давление -го компонента смеси.

· Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона – Менделеева)

(для 1 моль газа),

(для произвольной массы газа),

где – молярный объем, м³/моль; Дж/(моль×К) – молярная универсальная газовая постоянная; – молярная масса газа, кг/моль; – масса газа, кг; – количество вещества, моль.

· Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры

,

где – постоянная Больцмана ( R/N_a, – постоянная Авогадро); n = N/V – концентрация молекул, м^-3.

· Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

,

или

,

или

,

где – средняя квадратичная скорость молекул; – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; п – концентрация молекул; – масса одной мо­лекулы; – масса газа; N – число молекул в объеме газа V.

· Скорость молекул:

наиболее вероятная

;

средняя квадратичная

;

средняя арифметическая

.

· Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

₀ = 3kT/2.

· Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям

,

где – функция распределения молекул по скоростям, которая определя­ет относительное число молекул из общего числа N мо­лекул, скорости которых лежат в интервале от до .

· Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

,

где – функция распределения молекул по энергиям теплового движения, которая определяет относительное число молекул из общего числа N молекул, имеющие кинетические энергии , заключенные в интервале от до .

· Барометрическая формула

,

где и давление газа на высоте и .

· Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

,

где п и – концентрация молекул на высоте и ; – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

· Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с:

,

где –эффективный диаметр молекулы; п – концентрация мо­лекул; – средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

· Закон теплопроводности Фурье

,

где – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь за время ; – градиент температуры; – теплопроводность:

,

где – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа; – средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; – средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон диффузии Фика

,

где – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь за время ; – градиент плотности, – диффузия:

.

· Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

,

где – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью ; – градиент скорости; – динамическая вязкость Па×с:

.

Основы термодинамики

· Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекул,

.

· Средняя энергия молекулы

,

где – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы .

· Внутренняя энергия идеального газа

,

где – количество вещества; – масса газа; – молярная масса газа; – универсальная газовая постоянная.

· Первое начало термодинамики

,

где – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; – изменение ее внутренней энергии; – работа системы против внешних сил.

· Первое начало термодинамики для малого изменения состояния системы

.

· Связь между молярной и удельной теплоемкостями газа

,

где – молярная масса газа.

· Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

, .

· Уравнение Майера

.

· Изменение внутренней энергии идеального газа

.

· Работа, совершаемая газом при изменении его объема:

.

· Полная работа при изменении объема газа

,

где и – соответственно начальный и конечный объемы газа.

· Работа газа:

при изобарном процессе

или ;

при изотермическом процессе

или .

· Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона)

, , ,

где C_p/C_V = (i + 2)/i – показатель адиабаты.

· Работа в случае адиабатного процесса

, или

,

где , , и , – соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

· Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

,

где – количество теплоты, полученное системой; – коли­чество теплоты, отданное системой; – работа, совершаемая за цикл.

· Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

,

где – температура нагревателя; – температура холодиль­ника.

· Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2

.

Статистическое толкование энтропии приводит к расчетной зависимости

,

где – постоянная Больцмана, ; – термодинамическая вероятность.

Для одного моля идеального газа

,

где – изохорная молярная теплоемкость газа, – универсальная газовая постоянная, – молярный объем, – энтропия одного моля, принятая за начало отсчета.

Реальные газы, жидкости

И твердые тела

· Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа

,

где – молярный объем; а и – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.

· Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа

, или ,

где – количество вещества.

· Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

.

· Связь критических параметров – объема, давления и температуры – с постоянными а и Ван-дер-Ваальса:

, , .

Отсюда можно получить соотношение между постоянными Ван-дер-Ваальса и параметрами критического состояния, используя понятия приведенных температуры t, давления p и объема w:

; ; .

Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа в приведенной форме имеет вид:

.

· Внутренняя энергия произвольной массы реального газа

,

·

· Поверхностное натяжение

σ = F/ , или σ = ΔE/ΔS,

где – сила поверхностного натяжения, действующая на контур , ограничивающий поверхность жидкости; – поверхностная энергия, связанная с площадью поверхности пленки.

· Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны,

,

где и – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны вне жидкости (вогнутый мениск). Для сферической поверхности

Δp = 2σ/R.

· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

,

где – краевой угол; – радиус капилляра; – плотность жидкости; – ускорение свободного падения.

· Закон Дюлонга и Пти

,

где – молярная (атомная) теплоемкостьхимически простых твердых тел.

· Уравнение Клапейрона – Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе:

,

где – теплота фазового перехода; – изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую; – температура перехода (процесс изотермический).

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Электростатическое поле

· Закон Кулона

,

где – сила взаимодействия двух точечных зарядов и в вакууме; – расстояние между зарядами; – электрическая по­стоянная, равная .

· Напряженность и потенциал электростатического поля

, или ,

где – сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля; E_p – потенциальная энергия заряда ; – работа перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.

· Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда:

, .

· Поток вектора напряженности сквозь площадку :

,

где – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с единичной нормалью к площадке ; – проекция вектора на нормаль к площадке .

· Поток вектора напряженности через произвольную поверхность :

.

· Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей:

; ,

где , – соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом .

·

· Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

или ,

где , , – единичные векторы координатных осей.

· В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией:

.

· Электрический момент диполя (дипольный момент):

,

где – плечо диполя.

· Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов:

; ; ,

т. е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.

· Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

,

где – поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме; – электрическая постоянная; – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ; – число зарядов; – объемная плотность зарядов.

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

.

· Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями:

.

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом с общим зарядом , на расстоянии от центра сферы,

при (внутри сферы);

при (вне сферы).

· Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом с общим зарядом , на расстоянии от центра шара:

при (внутри шара);

при (вне шара).

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным с линейной плотностью τ бесконечным цилиндром радиусом на расстоянии от оси цилиндра,

при (внутри цилиндра);

при (вне цилиндра).

· Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

,

где – проекция вектора на направление элементарного перемещения . Интегрирование производится по любому замкнутому пути .

· Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2,

или

· Поляризованность диэлектрика:

,

где – объем диэлектрика; – дипольный момент -й молекулы.

· Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля:

,

где – диэлектрическая восприимчивость вещества.

· Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью :

.

· Связь между напряженностью поля в диэлектрике и напряженностью внешнего поля:

, или .

· Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля:

.

· Связь между , и :

.

· Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

где – поток вектора электростатического смещения; – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности свободных электрических зарядов; – проекция вектора на нормаль к площадке ; – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью к площадке.

· Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

,

где – поверхностная плотность зарядов.

· Электроемкость уединенного проводника

,

где – заряд, сообщенный проводнику; – потенциал проводника.

· Емкость плоского конденсатора:

,

где – площадь каждой пластины конденсатора; – расстояние между пластинами.

· Емкость цилиндрического конденсатора

,

где – длина обкладок конденсатора; и радиусы полых коаксиальных цилиндров.

· Емкость сферического конденсатора

,

где и – радиусы концентрических сфер.

· Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединениях:

, ,

где – емкость -го конденсатора; – число конденсаторов.

· Энергия уединенного заряженного проводника

.

· Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

,

где – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме -го.

· Энергия заряженного конденсатора

,

где – заряд конденсатора; – его емкость; – разность потенциалов между обкладками.

· Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора:

.

· Энергия электростатического поля плоского конденсатора

,

где – площадь одной пластины; – разность потенциалов между пластинками; – объем конденсатора.

· Объемная плотность энергии

,

где Е – напряженность электрического поля, – электрическое смещение.