Определение переходной характеристики цепи.
Определение функции передачи цепи.
Функция передачи цепи по току определяется как , где I1(S), I2(S) – изображения по Лапласу реакции и воздействия.
Изображаем операторную схему цепи, в которой L-элементы заменяем операторными сопротивлениями ZL=SL (рис.1.1).
ZH = RH = 1;
Z3 = R3 = 0,5;
Z4 = R4 = 0,5;
Z5 = Sּ1 = S;
Z6 = Sּ0,5 = 0,5S.
Представим цепь в виде четырехполюсника, к левым зажимам которого подключается источник, а к правым – сопротивление нагрузки (рис.1.2).
Метод пропорциональных величин:
I2(S) = 1;
UH(S) = i2(S)ּZH = 1;
U6 = i2ּZ6 = 1ּ0.5S = 0.5S;
U4 = U6 + UH;
U4 = 0.5S + 1;
i4 = S + 2;
i5 = i4 + i6; i5 = S + 2 + 1 = S + 3;
U5 = i5ּZ5; U5 = (S + 3)S = S2 + 3S.
Для дальнейшего удобства расчета перерисуем цепь (рис. 1.3).
, ,
, , ____
, , .
,
Передаточная функция:
Рассчитаем функцию передачи токов при S = 0, S à∞.
HI(∞) = 0
Проверим полученные значения HI(0) и HI(∞) по схемам замещения, соответствующим S = 0 (рис. 1.4.а), где LàКЗ, и S à∞ (рис. 1.4,б), где L àХХ.
а б
рис. 1.4
Из схемы рис. 1.4, а:
U3 = U4 = UH = U
Из схемы рис. 1.4, б:
I2 = 0,
Проверка по схемам замещения для HI(0) и HI(∞) дала такие же результаты, какие были получены при расчете передаточной функции операторным методом. Таким образом, можно сделать вывод, что эти значения были найдены верно.
Определение нулей и полюсов функции передачи.
Нули – корни полинома числителя, полюса – корни полинома знаменателя передаточной функции цепи.
Конечных нулей не имеет. Найдем полюса:
S1 = − 0.78
S2 = − 3.22
Расположение полюсов на плоскости комплексной частоты приведено на рис. 1.5.
Исходя из вида полюсов (отрицательные, простые), можно заключить, что переходный процесс в рассматриваемой цепи имеет апериодический, затухающий характер. Его практическая длительность:
Определение переходной характеристики цепи.
Передаточную характеристику h1(t) – реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию δ1(t) при нулевых независимых начальных условиях – находим как оригинал функции передачи цепи.
S1 = 0,
S2 = − 0.78,
S3 = − 3.22.
Таким образом,
Определим значения h1(t) при t = 0+ и при t à ∞.
Проверим полученные значения по схемам замещения исходной цепи, соответствующим t=0+ (рис. 1.6, а), где L àХХ, и t à ∞ (рис 1.6, б), где L à КЗ.
а б
рис. 1.6
Из схемы рис. 1.6, а: h1(0+) = I2(0+) = 0.
Из схемы рис. 1.6, б по теореме о предельном значении функции:
Это сошлось с полученными выше значениями. Следовательно, вычисления выполнены верно.
График переходной характеристики цепи представлен на рис. 1.7.
1.4. Определение по Лапласу входного одиночного импульса.
Входной одиночный импульс тока i1(t) приведен на рис. 1.8.
Параметры сигнала:
Im = 10 A;
tи = 1,5 с.
Начальные условия нулевые.
Изображение сигнала:
1.5. Определение изображения выходного сигнала I2(S)
и реакции цепи во временной области i2(t).
Изображение выходного тока:
I2(S) = I1(S)·HI(S)
Переводим во временную область:
F(S)
Сначала переводим в t-область функцию F(S).
S1 = 2,09
S2 = − 0.78
S3 = − 3.22
f(t) – оригинал функции F(S).
f(t) = f1(t) + f2(t)
Графики входного и выходного и выходного сигналов представлены на рис. 1.9.
II. АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА НА ВХОДЕ.