Вероятность обнаружения частицы

По аналогии со светом вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном интервале около точки x, или плотность вероятности, равна

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (1.14)

Вероятность обнаружения частицы в интервале dx

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (1.15)

Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (1.16)

Квантование Бора–Зоммерфельда

В максимуме интерференции волна усиливается и увеличивается вероятность обнаружения частицы, пропорциональная квадрату модуля волны. Условие максимума интерференции для разности хода двух волн от точки их расхождения до точки наложения (1.3)

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

где n – число длин волн, укладывающихся на протяжении Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , обеспечивает наибольшую вероятность обнаружения частицы. Точки максимума интерференции дают траекторию частицы. Учитывая (1.13)

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

получаем условие обнаружения частицы

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru .

Результат обобщаем на случай трехмерной замкнутой траектории с элементом Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , когда импульс изменяется вдоль траектории. Получаем условие квантование Бора–Зоммерфельда

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , (1.17)

где

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru – квантовое число, или номер траектории. Это число показывает сколько раз длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru – объем фазового пространства Вероятность обнаружения частицы - student2.ru одномерного движения, ограниченный траекторией частицы и занятый n состояниями.

Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h. На этом результате основана статистическая физика.

Формула (1.17) применима тольков квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

и (1.17) получаем условие применимости (1.17)

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (1.18)

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории частицы.

ПРИМЕР

В одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной a с абсолютно непроницаемыми стенками находится частица массой m. Классическая физика не ограничивает энергию частицы в яме. Получим допустимые значения энергии и импульса частицы, используя квантование Бора–Зоммерфельда.

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru

Частица с полной энергией Вероятность обнаружения частицы - student2.ru внутри ямы при Вероятность обнаружения частицы - student2.ru имеет импульс

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru .

Из условия квантования (1.17)

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

где учтено, что импульс р направлен вдоль участка траектории Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , и эти вектора параллельны оси x. С учетом движения вправо и влево, находим:

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , Вероятность обнаружения частицы - student2.ru

Получаем дискретный спектр энергии и модуля импульса

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (П.1.3)

Чем уже яма и меньше масса частицы, тем выше уровень энергии и больше расстояние между соседними уровнями.

Длина волны де Бройля на уровне n

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru ,

тогда

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru .

Номер состояния равен числу полуволн, укладывающихся на ширине ямы.

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru

Для основного состояния Вероятность обнаружения частицы - student2.ru с минимальной энергией из (П.1.3) получаем

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . (П.1.4)

Энергия частицы в яме не может быть меньше этого значения.

Для электрона в потенциальной яме макроскопической ширины Вероятность обнаружения частицы - student2.ru находим

Вероятность обнаружения частицы - student2.ru .

Тепловая энергия kT такой величины достигается при температуре Вероятность обнаружения частицы - student2.ru . При нормальной температуре квантование энергии в яме несущественно. Для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при не слишком низкой температуре. В результате примена классическая физика.

Для микроразмера L = 1 нм получаем Вероятность обнаружения частицы - student2.ru , что превышает тепловую энергию Вероятность обнаружения частицы - student2.ru при нормальной температуре. Следовательно, для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре. Классическая теория не применима для микро и наносистем.

Наши рекомендации