Вероятность обнаружения частицы в момент времени t в элементарном объеме dV около точки с координатами х, у, z определяется формулой

dW=|ψ|²dV. (2.1)

При этом частица представляется в виде точки, в которой сосредоточены ее масса, импульс и энергия.

Из уравнения (2.1) следует

. (2.2)

Квадрат модуля волновой функции есть плотность вероятности для местонахождения частицы (поэтому ψ-функцию называют также амплитудой вероятности).

В определениях (2.1) и (2.2) и заключен физический смысл функции состояния, ибо посредством измерений можно найти только величины dW и ω.

Функция состояния ψ(х, у, z, t) является комплексной: квадрат ее модуля выражается формулой

где звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Комплексная функция всегда может быть представлена в виде

ψ = R(x, у, z, t)e^ia{x,y,z,t) (2.3)

Здесь

R (х, у, z, t)

— модуль функции, a

e^ia{x,y,z,t)

называется фазовым множителем.

Из формул (2.1) и (2.3) следует, что волновая функция определена неоднозначно, а с точностью до произвольного фазового множителя. Действительно, умножение функции на экспоненту e^iβ изменяет фазу комплексной функции ψ(х, у, z, t), но не ее модуль, что не приводит к изменению измеряемой величины ω.

Указанную особенность функции состояния не следует рассматривать как недостаток теории. Всегда нужно помнить, что волновая функция есть математический объект. Ее даже нельзя найти экспериментально прямым измерением. Непосредственно измеримой характеристикой является величина |ψ|², а она задана однозначно. Произвол в фазовом множителе не приводит ни к каким наблюдаемым эффектам и поэтому является физически несущественным. (Здесь мы говорим только о положении микрочастицы в пространстве.)

В соответствии с определением (2.1) можно по известной ψ-функции рассчитать вероятность обнаружения частицы в любом конечном объеме V. Для этого следует разбить конечный объем на малые элементарные объемы dV, найти для них вероятности dW и по теореме о сложении вероятностей несовместимых событий сложить их:

. (2.4)

Формула (2.4) вместе с формулой (2.2) лежит в основе реальных измерений вероятности. Однако мы не отметили еще одно необходимое свойство ψ-функции. Если провести интегрирование в формуле (2.4) по всему пространству (или по тому объему, в котором

нахождение частицы — достоверный факт), то интеграл должен быть равен единице, ибо обнаружение частицы здесь есть событие достоверное; вероятность его равна единице:

. (2.5)

Равенство (2.5) называется условием нормировки функции состояния. Полезно заметить, что в процессе теоретического отыскания ψ-функция часто оказывается ненормированной, т. е. интеграл (2.5) равен не единице, а некоторому числу N. В таком случае легко находится нормированная функция: ψ-функция снабжается необходимым коэффициентом

.

Определения (2.1), (2.2), формула (2.4) и условие (2.5) отражают вероятностно-статистический смысл волновой функции. В связи с физическим толкованием возникают ограничения, накладываемые на ψ-функцию: она должна быть однозначной, непрерывной

и квадратично-интегрируемой функцией. Последнее требование означает ограниченность интеграла

,

взятого по всему пространству: без этого нельзя добиться выполнения равенства B.5). По

этой же причине на ψ-функцию обычно накладывают условие ограниченности: |ψ| < oо. Во многих случаях ограниченность означает,

что

lim |ψ | =0,

причем |ψ| достаточно быстро затухает на бесконечности.

Пример 2.1. Квадратично-интегрируемая функция на конечном промежутке.

Рассмотрим функцию ψ = С sin —, заданную на отрезке @, а) оси Ох. Вычисле-

Вычисления показывают, что

а

\ С sin — dx = -p- С ,

J а 2

т. е. это ограниченная величина.

Пример 2.2. Квадратично-интегрируемая функция на бесконечном проме-

Промежутке.

Задана функция ψ = Се °, где С и а — константы, а r,— модуль радиус- вектора точки пространства. В этом случае

Г 2

\Се

Пример 2.3. Нормировка функций.

Условие нормировки

\ c2sin2 — dx=l

J "

о

/ 2

в примере B.1) приводит к равенству С=~\1—. Теперь функция

ψ = 2 . лх

— sin —

а а

нормирована иа единицу.

Аналогично для примера 2.2 находим

г

2 —а

а3'2'

Пример 2.4. Использование плотности вероятности для оценки размеров атома.

Зависимость плотности вероятности местоположения электроиа от расстояния до

ядра в атоме водорода выражается формулой

ω(r) = r

Ход кривой показан на рисунке 1.4.

Из графика видно, что наибольшая вероятность соответствует расстоянию электрона до ядра: r = а = 0,5*10^~10 м. Имеется отличная от нуля вероятность обнаружить электрон и на больших расстояниях. Это значит, что резкой границы у атома нет, но вероятность обнаружения быстро спадает по мере роста r при r>а.

Чтобы определить вероятность нахождения электрона в сфере, ограниченной

радиусом 2а, необходимо определить площадь заштрихованной части графика до

точки r= 2а и найтн ее отношение ко всей площади под кривой w (r). Приблизнтельно получается 0,7. Обсудим смысл этой величины.

Для применения статистики нужно взять много атомов, находящихся в одном н том же состоянии, например 106 атомов. В этом случае наблюдается определенная закономерность: в 0,7-10⁶атомов в указанном объеме электроны обнаруживаютси, а

в остальных 0,3 -10⁶ атомов электроны обнаруживаются вне этого объема. В результате относительная погрешность предсказания тем меньше, чем больше берется атомов. Если же взят один атом или их небольшое число, то задание вероятности не

позволяет однозначно указать, находится электрон в заданном объеме или нет.

Существует также наглидная временная трактовка рассмотренного выше распределения вероятности для одного атома: электрон из какого-нибудь промежутка времени t (достаточно большого по сравнению с некоторым характерным временем — «периодом обращения» вокруг ядра) проводит 0,7t внутри указанного объема, а 0,3t — вне его.

Таким образом, размеры атома оцениваются по размерам его электронного

облака — области пространства с заметно отличной от нуля вероятностью обнаружения электрона. В ряде случаев оказывается возможным при взаимодействии электронов считать их заряды непрерывно распределенными по облаку с плотностью:

р = -eω,

где —е — электрический заряд электрона.

Разобранный пример 2.4 в какой-то мере отражает фактический предел той

степени наглядности, которая возможна при описании движения частицы с помощью

волновой функции. В рамках квантовой механики, в сущности, бессмысленно за-

задавать следующие вопросы: в какой точке находится частица, движущаяся с опре-

определенной скоростью? По какой траектории происходит ее движение? Чему равно

в данный момент значение ее координаты х? Природа такова, что на микроскопическом уровне достоверных ответов на такие вопросы получить нельзя. Можно только указать распределение вероятностей для координат и его изменение со временем, если плотность вероятности зависит от времени.