Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок CК лежит на отрезке АВ. На отрезок АВ наудачу поставлена точка. Это означает, что поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка АВ, вероятность попадания точки на отрезок СК не зависит от его расположения относительно отрезка АВ и вычисляется по формуле

Р = длина СК / длина АВ.

А________С______К_______________В

Пусть плоская фигура М составляет часть плоской фигуры А.

На фигуру А наудачу брошена точка. Это означает, что брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры А. Вероятность попадания брошенной точки на фигуру М не зависит ни от ее расположения относительно А, ни от формы фигуры М. Вероятность попадания точки в фигуру М определяется равенством

Р = Площадь М / Площадь А

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!, где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С mn = n! / (m! (n - m)!).

примеры перестановок, размещений, сочетаний

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Amn = PmC mn.

З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

Pn (n1, n2, ...) = n! / (n1! n2! ... ), где n1 + n2 + ... = n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

Доказательство: по определению дисперсии

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с2.

Доказательство: по определению дисперсии

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru . (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М[сХ] больше, чем возможные значения Х вокруг М[X], т.е. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru . Если 0<½с½<1, то Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru .

Правило 3s. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:

[ m - 3s; m + 3s; ].(6.15)

12. Распределения дискретных случайных величин. Биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое распределения.

Исходной информацией для построения функции распределения дискретной случайной величины X является ряд распределения этой СВ.

xi x1 x2 x3 ... xn >xn
pi p1 p2 p3 ... pn
F(xi) p1 p1+p2 p1+..+pn-1

F(xi)=P{X<xi}=P{(X=x1)È(X=x2)È ... È(X=xi-1)}= p1+...+pi-1.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru , то есть суммирование распространяется на все значения Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru , которые меньше х.

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Биномиальное распределение.

Дискретная случайная величина X имеет биноминальное распределение, если ее закон распределения описывается формулой Бернулли:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

где p – параметр распределения Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Распределение загасит от двух параметров п и р.

На практике биноминальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится серия из п испытании, в каждом из которых некоторое событие появляется с вероятностью р. Случайная величина X, равная числу наступлений события в п опытах, имеет биноминальное распределение.

Числовые характеристики: М [Х] = n, D[X]= npq.

Название объясняется тем, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru ,

т.е. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Распределение Пуассона.

Соотношениями, описывающими биноминальное распределение, удобно пользоваться в тех случаях, если величина и достаточно мала, а р велико.

Теорема: Если, Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru а Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru так, что Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru то

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

при любом k=0,1,….

Числовые характеристики: М[Х] = α, D[X] = α.

Закон Пуассона зависит от одного параметра α, смысл которого заключается в следующем: он является одновременно и математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х.

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.12)

Определим числовые характеристики нормально распределенной случайной величины Х. Математическое ожидание:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Применяя замену переменной

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.13)

получим

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

В полученном выражении первый интеграл равен нулю (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции), а второй интеграл есть интеграл Эйлера-Пуассона:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.14)

Таким образом, математическое ожидание величины Х равно m:

M[X]=m.

Вычислим дисперсию СВ Х:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Применяя замену переменной (8.13) получим:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Интегрируя по частям, получим:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (т.к. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru при t→∞ убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (8.14), равно Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru , откуда

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru .

Таким образом, нормальное распределение случайной величины полностью описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием M[X] и средним квадратичным отклонением σ.

Рассмотрим влияние параметров m и σ на кривую распределения. При изменении параметра m кривая f(x), не изменяя формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменение σ равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, при удвоении σ масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат уменьшится в два раза (рис. 8.3).

Центральные моменты нечетной степени для нормально распределенной случайной величины определяются равны нуню; для вычисления центральных моментов четной степени используется рекуррентное соотношение следующего вида:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.15)

Определим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от α до β:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Сделав замену переменной t=(x-m)/σ, получим:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Так как первообразная для e-x не выражается через элементарные функции, то для вычисления вероятностей событий, связанных с нормальными случайными величинами используют табулированную функцию Лапласа:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru .

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал от α до β определится так:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.16)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Φ(0)=0;

2. Φ(-х)=-Φ(х);

3. Φ(-∞)=0,5.

Функция распределения нормально распределенной случайной величины через функцию Лапласа выражается так:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (8.16)

Нормально распределенная случайная величина возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х1, Х2, …, Xn. Тогда, каковы бы не были законы распределения отдельных случайных величин Xi, закон распределения их суммы будет близок к нормальному распределению. В частности, ошибки измерений распределяются по закону, близкому к нормальному.

показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю

P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru (5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). - student2.ru Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок CК лежит на отрезке АВ. На отрезок АВ наудачу поставлена точка. Это означает, что поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка АВ, вероятность попадания точки на отрезок СК не зависит от его расположения относительно отрезка АВ и вычисляется по формуле

Р = длина СК / длина АВ.

А________С______К_______________В

Пусть плоская фигура М составляет часть плоской фигуры А.

На фигуру А наудачу брошена точка. Это означает, что брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры А. Вероятность попадания брошенной точки на фигуру М не зависит ни от ее расположения относительно А, ни от формы фигуры М. Вероятность попадания точки в фигуру М определяется равенством

Р = Площадь М / Площадь А

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!, где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С mn = n! / (m! (n - m)!).

примеры перестановок, размещений, сочетаний

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Amn = PmC mn.

З а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

Pn (n1, n2, ...) = n! / (n1! n2! ... ), где n1 + n2 + ... = n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

П р а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

П р а в и л о п р о и з в е д е н и я. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Наши рекомендации