Глава 8. закон максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям

Введение

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m₀ в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т= const, остается постоянной и равной υ_cк= .

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически вывел Дж. Максвелл.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа

По скоростям

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(υ), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скоростей будет приходиться некоторое число молекул dΝ(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от v до υ+dυ, т.е.

=f(υ)dυ,

откуда

f(υ)= .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(υ) — закон для распределения·молекул идеального газа по скоростям:

f(υ)=4π υ² . (8.1)

Из (8.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы m₀ молекулы) и от параметра состояния (от температуры T). График функции (8.1) приведен на рис.8.1.

Рис.8.1

Так как при возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель υ², то функция начинаясь от нуля, достигает максимума при υ_в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно υ_в.

Относительное число молекул dΝ(υ)/Ν, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ, находится как площадь заштрихованной полоски. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1. Это означает, что функция f(υ) удовлетворяет условию нормировки .

Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростьюυ_в. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, дифференцируя выражение (8.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу υ, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(υ):

.

Значения υ=0 и υ = ∞ соответствуют минимумам выражения (8.1), а значение υ, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость υ_в :

υ_в = = . (8.2)

Из формулы (8.2) следует, что при повышении температуры максимум функции

распределения молекул по скоростям сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы<υ> (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

υ_c= _.

Подставляя сюда f(υ) и интегрируя, получаем:

υ_с= = . (8.3)

Скорости, характеризующие состояние газа:

– наиболее вероятная υ_в = ,

– средняя υ_с= ,

– средняя квадратичная υ_cк= .

Исходя из распределения молекул по скоростям

dN(υ)= N f(υ)=N 4π υ² (8.4)

можно найти распределение молекул газа по кинетической энергии w. Для этого перейдем от переменной υ к переменной w_k = . Подставив в (8.4) v= и dυ=(2m₀w_k)^-1/2dw_k, получим:

dN (w)= = Nf(w_k)dw_k,

где dN(w_k) - число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от w_k до w_k+dw_k.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям

f(w_k)= .

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

w = = = kT,

т. е. получили результат, совпадающий с формулой (7.18).