Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

По МКТ, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, находящимся в состоянии равновесия при Т=const, остаётся равной:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное распределение молекул по скоростям, которое подчиняется закону Максвелла.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на равные малые интервалы Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , имеющих скорость, заключённую в этом интервале. Функция Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru определяет относительное число молекул, Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , скорости которых лежат в интервале Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , т.е.:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Применяя методы теории вероятностей Максвелл нашёл функцию Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru (*)

Из этого видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состоянии (от температуры Т).

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Т.к. при возрастании Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru множитель Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru уменьшается быстрее, чем растёт множитель Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , тот функция Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , начиная от нуля достигает максимума при Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru и затем асимптотически стремится к 0. Кривая не симметрична относительно Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Относительное число молекул Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru находится, как площадь более зелёной плоскости на рисунке. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки.

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Наиболее вероятная скорость – скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (*) по аргументу Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , приравняв результат 0 и используя условие для максимума выражения Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru :

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Значения Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru и 0 соответствуют минимумам выражения (*), а значение Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , при котором значение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru :

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Из этой формулы следует, что при повышении Т максимум функции стремится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой остаётся неизменной, поэтому кривая будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru ,

подставляя сюда Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru и интегрируя получим:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Скорости характеризующие состояние газа:

1) Наиболее вероятная: Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

2) средняя: Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

3) средняя квадратичная: Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Исходя из распределения молекул по скоростям

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Учтя, что Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru получим:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru ,

где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - число молекул, имеющих кинетическую энергию в интервале от Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru до Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Функция распределения молекул по энергиям теплового движения

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Средняя кинетическая энергия Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru молекулы идеального газа

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

41. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с друугой, приводят к некоторому стационирному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно,температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно p, то на высоте Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru оно равно Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , значит:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - плотность газа на высоте h. Следовательно,

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .(*)

Воспользумся уравнением состояния ид. газа Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru ,

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

находим, что Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru . Подставив это выражение в (*) получим:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , или Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

С изменением высоты от Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru до Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru давление изменяется от Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru до Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru т.е. Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , или

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Это выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление найти высоту. Этоже выражение может быть записано относительно уровня моря:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где p-давление на высоте h. Прибор для определения высоты над земной поверхностью называетсявысотомером (илиальтиметром). Давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Эту арометрическубю формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru :

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -концентрация молекул на высоте Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - то же на высоте Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru =0. Так как Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , а Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , то

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.е.

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Это выражение называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

42. Средняя длина свободного пробега молекул.

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя столкновениями молекулы проходят некоторый путь Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , который называется длиной свободного пробега. Т.к. мы имеем дело с большим числом молекул, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru . Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называетсяэффективным диаметром молекулы Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru. Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от темпратуры газа.

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Так как за 1с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , и если Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru - среднее число столкновений, испытываемых молекулой газа за 1с, то средняя длина свбодного пробега:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru . Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru

Для определения Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru : молекула столкнётся только с теми «застывшими» молекулами, центры которых находятся на расстояниях равных или меньших Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , т.е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Среднее число столкновений за 1с равно числу молекул в объёме «ломаного» цилиндра:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -концентрация молекул; Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru . Таким образом,среднее число столкновений:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Расчёты показывают, что при учёте движения других молекул:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Тогда средняя длина свободного пробега:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , т.е. Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru обратно пропорциональна концентрации Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru молекул. С другой стороны, из Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru следует, что при постоянной температуре Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru пропорциональна давлению Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru . Следовательно, Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

43. Явление переноса в термодинамически неравновесных системах. Теплопроводность. Диффузия. Внутреннее трение (вязкость).

В термодинамически неравновесных сисмах возникают особые необратимые процессы, называеьые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплоёмкость, диффузияивнутреннее трение (перенос импульса).

Теплоёмкость.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е. выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -плотность тепловогопотока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярно оси х. Знакминус показывает, что переносится в направлении убывания температуры. Теплопроводность Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

Можно показать, что

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru , где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме(количество теплоты, необходимоедля нагревания 1кг газа на 1К при постоянном объёме).

Диффузия.

Заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и твёрдых тел. Диффузия сводится к обмену масс частиц этихтел, возникает и продолжается пока существует градиент плотности.

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru ,

где Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества, диффундирующего за единицу времени через единичную площадку, перпенд-ную оси х, Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -кооэффициент диффузии, Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru -градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru и Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru противоположны). Диффузия Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru численно равна плотностипотока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов:

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. - student2.ru .

Наши рекомендации