Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям

В соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы газа совершают хаотическое движение. Это позволяет предположить, что в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул в пространстве равновероятны, хотя значения этих скоростей не являются равновероятными (опыт Штерна).

Разобьем общее число молекул N на небольшие группы из dNυ молекул, значение скорости которых лежат в пределах от υ до υ + dυ. Тогда dp = dNυ /N это вероятность того, что молекула газа имеет ско-рость в заданном интервале от υ до υ + dυ (или доля частиц от общего числа скорости которых лежат в интервале от υ до υ + dυ). Согласно теории вероятности, плотность вероятности (а в статистической фи-зике ее называют функцией распределения) будет иметь

f (υ)= dp . (10.1.1)
 

В каждую такую группу при заданной температуре Т попадает число молекул

dNυ= Nf (υ)dυ. (10.1.2)

Функция f (υ), зависящая от модуля скорости υ, называется функцией распределения молекул по скоростям. В1859г.Джеймс Максвелл полу-

чил в явном виде эту функцию. Функция распределения молекул газа по скоростям (функция распределение Максвелла) имеет вид

  m 3     m υ2        
  2        
f (υ)=   exp   4πυ2 . (10.1.3)  
   
  2 πkT     2kT        

Число молекул, скорости которых имеют значения, заключен-ные в пределах от υ до υ + dυ равно



 
Рис. 10.1.1
 
υв 〈υср〉 υкв
 
T2> T1
 
T1
 
f (υ)
  m 3     m υ2      
  2   4πυ 2 d υ. (10.1.4)  
dN υ= Nf (υ) d υ= N   exp    
   
  2 πkT     2kT      

А вероятность того, что молекула газа имеет скорость в заданном ин-тервале от υ до υ + dυ (или доля частиц от общего числа, скорости ко-торых лежат в заданном интервале от υ до υ + dυ) определяется вы-ражением

  dN     m 3     m υ2      
  υ   2   4πυ2dυ. (10.1.5)  
dpυ=   = f (υ) d υ=   exp    
       
  N     2 πkT     2kT      

График функции рас-пределения молекул газа по скоростям представлен на рис. 10.1.1. Скорость, отвечающая максимуму функции распре-деления молекул газа по ско-

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru

0 υ ростям, называют наиболее

вероятной скоростью.Этойскорость обладает наибольшее

количество частиц при заданной температуре Т. Найдем наиболее веро-ятную скорость. Для этого возьмем производную по υ от выражения (10.1.3) и приравняем к нулю.

  df (υ)   d         m     3         m υ2              
                       
      =         4 π           exp   υ     = 0  
                         
        2 πkT             2kT              
                                                       
      m υ 2   2 − m   υ2   υ= 0 ⇒ 2 − m υ2  
  exp             = 0 . (10.1.6)  
            2kT       kT                   kT    
      υ в = 2kT = 2kTNA = 2RT .   (10.1.7)  
          m0       m0 NA     M      
                           
Найдем среднюю арифметическую скорость молекул газа:  
                m     3         m υ2      
  υ f ( υ d υ=           υ3 d υ. (10.1.8)  
υ =           exp      
         
      )                 2kT    
  o             2 πkT     o            
                                                                                             

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru



Интегрирование данного выражения по частям приводит к тому, что

υ = 8kT = 8RT . (10.1.9)
  πm   πM  
       

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru

Найдем среднее значение квадрата скорости молекул газа:

                    m           m υ2       3kT    
          (              
  υ   = υ   f υ d υ=       4 π exp     υ d υ=   . (10.1.10)  
             
              )           2kT     m0    
        o             2 πkT     o                
Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Корень квадратный из среднего значения квадрата скорости υ2 на-  
зывается средней квадратичной скоростью, и она равна    
υ = υ2 ⇒ υ = 3kT = 3RT . (10.1.11)  
кв кв m0 M    
       
                                                           

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Для определения доли р частиц, скорости которых лежат в некото-ром интервале скоростей от υ1 до υ2 , необходимо вычислить интеграл

      N       υ 2               m     υ 2             m υ2        
p =         f ( υ d υ=                     d υ. (10.1.12)  
    υ =         exp         υ  
               
      N             )                     2kT      
            υ             2 πkT     υ                    
                                                                 
С точки зрения математики величина   р −это площадь под кри-  
волинейной трапеции ограниченной   интервалом от υ1 до υ2  
(рис. 10.1.2).                                                                      
Вероятность того скорость молекулы газа лежит в интервале от  
0 до ∞ равна                                                                      
  N                           m             m υ2            
                                               
  υ =   (                   υ 2 d υ=1. (10.1.13)  
p =   f υ d υ= 4 π                 exp            
                 
  N           )                   2kT          
                      2 πkT                          
Условие (10.1.13) является условие нормировки для функции  
распределение Максвелла.                           f (υ)           dN (υ)  
Так как в конечных пределах вы-                
числение интеграла (10.1.12) затрудне-                         N  
но, то используют приближенные мето-                            
ды расчета. Для расчетов часто исполь-                            
зуют распределения Максвелла по от-               υв. υ1 υ2 υ  
носительным скоростям. Относитель-                
            Рис. 10.1.2  

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru ной скоростью молекулы называют вели-



чину u = υ/υв . Чтобы получить распределения Максвелла по относи-тельным скоростям перейдем от переменной υ к переменной u. Произ-

ведя подстановку υ= u υ = u 2kT , и dυ = du υв = du 2kT в выраже-  
    в     m0       m0  
нии (10.1.5) получим            
                 
    dN u          
      =   exp( −u   )u du . (10.1.14)  
    N   π    

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Исходя из распределения Максвелла по скоростям, можно также найти распределение молекул по значениям кинетической энергии по-

ступательного движения.Для этого перейдем от переменнойυк пе-

  ε = m0υ 2                   1  
                 
ременной   . Произведя подстановку υ=   , и  
     
                    m0    
dυ=(2 m ε)12 dεв выражении(10.1.5)получим          
                             
  dN       3   ε          
  N ε =   ( kT ) 2 exp −     εdε , (10.1.15)  
           
        π     kT          

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru где dNε /N − доля молекул, кинетическая энергия поступательного дви-жения которых имеет значения, заключенные в пределах от ε до ε + dε, или вероятность того, что кинетическая энергия поступательного движения молекулы имеет значение, заключенное в пределах от ε до

ε + dε.

Выражение (10.1.15) называют распределением молекул по зна-чениям кинетической энергии поступательного движения.

С помощью этой функции можно вычислить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы

  ( kT ) 3 ε     3kT    
ε = ∫ ε f ( ε )d ε = e xp ε d ε = . (10.1.16)  
     
  π     kT      

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru

Полученный результат согласуется с законом Больцмана о рав-номерном распределении энергии по степеням свободы.



 
= −ρgdh , (10.2.1)

Барометрическая формула

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено си-

лой тяжести вышележащих слоев газа. Допус-          
         
тим, что на высоте h давление будет p. Тогда p + dp        
  dh  
давление на высоте h + dh будет p + dp, при- p    
чем если dh больше нуля, то dp < 0, так как        
       
давление с высотой убывает. Разность давле-     h  
ний равна давлению силы тяжести газа dmg,          
  Рис. 10.2.1  
заключенного в объеме цилиндра с площадью    
         
основания S и высотой dh, т. е.          

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru

p −( p + dp )= dmg Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru S ⇒−d ρ=ρSdhg Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru S ⇒ dp

где ρ − плотность газа на высоте h.

В условиях, близких к нормальным, воздух мало чем отличается по своему поведению от идеального газа. Поэтому, применив уравне-ние Менделеева − Клапейрона для произвольной массы газа, выразим его плотность

pV = m RT ⇒ pM = m ⇒ ρ = pM . (10.2.2)  
M RT  
    V   RT    

Подставим выражение (10.2.2) в (10.2.1) и получим

dp = − pMg dh или dp = − Mg dh . (10.2.3)
RT p RT  

Предположим, что температура воздуха не зависит от высоты

(изотермическая атмосфера) и на высоте h = 0 давление равно p0 .

Тогда проинтегрировав выражение (10.2.3) получим

p dp h Mg     p   Mgh    
p = − RT dh ln   = − RT . (10.2.4)  
p  
p                
                   

Потенцируя выражение (10.2.4) получим выражение

  Mgh , (10.2.5)  
p = p0exp    
    RT      

которое назвают барометрической формулой.

Полученная барометрическая формула дает зависимость давле-ния от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотерми-ческой атмосферы.



Если учесть, что

M R =(m0 N A )(kN A )= m0 k , (10.2.6)

Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям - student2.ru

где m0 − масса одной молекулы, k − постоянная Больцмана.

Наши рекомендации