Квантование сигнала по уровню

ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ

Теорема Котельникова

Согласно теореме Котельникова, если спектр сигнала ограничен полосой , то сигнал может быть восстановлен по своим отсчётам , разделёнными интервалом времени :

, (1.1)

где .

Предполагается , что число отсчетов бесконечно, (интервал наблюдения - бесконечен ).

Ввиду того, спектр сигнала ограничен полосой (вне этой полосы он равен нулю), спектральную функцию сигнала можно представить как периодическую функцию. При увеличении интервала дискретизации больше, чем , спектральные функции сигнала на каждом периоде перекрываются, что приводит к искажению восстановленного сигнала. С уменьшением интервала дискретизации качество восстановленного сигнала улучшается.

Если сигнал ограничен временем наблюдения , то можно осуществить периодическое продолжение его с периодом, равным . В этом случае производится дискретизация спектральной функции с интервалом , и производится восстановление спектральной функции по его отсчётам в частотной области:

,

где .

Восстановление спектральной функции будет улучшаться, если интервал дискретизации уменьшать по сравнению с .

Рассмотрим приложение теоремы Котельникова к случайным процессам. Трудность непосредственной записи формулы (1.1) в применении к случайным процессам связано с тем, что имеется множество реализаций, случайного процесса.

Поэтому применяется понятие сходимости в среднеквадратическом [*Левин кн 2 ]

Положим, - непрерывный в среднеквадратическом, стационарный, хотя бы в широком смысле, случайный процесс со спектральной плотностью мощности , .

Если существует предел

,

тогда случайный процесс определяется счётным множеством случайных величин и записывается как

. (1.2)

В качестве критерия возможности представления случайного процесса в виде разложения (1.1) выберем равенство корреляционных функций процесса правой части равенства (1.1). Положим, - корреляционная функция процесса .

Обозначим правую часть (1.1) через . Корреляционная функция процесса равна

=

. *

Сделаем замену

Для произвольной задержки справедливо разложение функции в ряд Котельникова и его представление в виде (Левин Б.Р. Статистические основы радиотехники, книга 2, стр.273 )

Применяя это соотношение к , получим

.

Но учитывая, что корреляционная функция – четная функция, имеем

. (1.3)

Но (1.6) - есть разложение корреляционной функции по ортогональным функциям вида т.е.

= .

Исходя из принятого критерия, получим равенство (1.1)

Квантование сигнала по уровню

Положим, дискретизация сигналов по времени произведено, и необходимо передавать сигналы в дискретные моменты времени. Можно передавать сигналы, используя амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ). Однако в настоящее время широко внедряются в практику кодово-импульсная модуляция (КИМ). Суть в следующем. Значения импульсов, полученных в результате дискретизации, переводятся в последовательность стандартных импульсов. Каждому значению параметра сигнала после дискретизации по времени соответствует определённый набор импульсов. Но при переходе от непрерывного представления параметра к дискретному возникает проблема, как выбирать порог дискретизации.

Для этого все возможные непрерывные значения параметра сигнала разбиваются на неперекрывающиеся интервалы квантования длиной , где - число интервалов квантования. Длины интервалов квантования могут быть неравными. Внутри каждого интервала квантования произвольно выбирается точка - уровень квантования. Если значение параметра сигнала попадает в -ый интервал , оно заменяется величиной . В результате имеется дискретный набор возможных значений параметра сигнала . Но в результате квантования возникает ошибка квантования, связанная с замещением истинного значения параметра его приближенным значением . Рассмотрим отдельно -ый интервал . Обозначим границы -ого интервала через , , , рисунок 11. Величина -ого интервала квантования будет равна

Ошибка квантования , истинное значение и уровень квантования связаны соотношением

. (1.4)

Как видно из (1.7) и рисунка 1.1 ошибка квантования на интервале квантования зависит от положения уровня квантования . Поэтому возникает вопрос, как расположить уровень квантования относительно границ , .

Положим, непрерывные значения сигнала распределены по неизвестному закону с плотностью распределения вероятности . Математическое ожидание ошибки квантования , с точки зрения теории измерений, определяет систематическую ошибку, а дисперсия ошибки квантования - динамическую ошибку, т.е. разброс случайных значений параметра сигнала около математического ожидания. Примем в качестве критерия выбора положения уровня квантования равенство нулю систематической ошибки

. (1.5)

Ввиду того, что плотность распределения вероятности не известна и интервалы квантования достаточно малы, примем значения плотности распределения вероятности постоянной в интервале , равной , где . В результате из (**.2) получим

. (1.6)

Решением этого приближенного равенства будет

. (1.7)

Из выражения (**.4) видно, что уровень квантования при сделанных допущениях должен находиться в середине интервала квантования.

Дисперсия ошибки квантования (динамическая ошибка) с учетом сделанных выше предположений равна

. (1.8)

Ввиду того, что интервалы квантования не перекрываются, ошибки квантования будут независимыми и общая дисперсия ошибки квантования равна сумме дисперсий ошибок квантования на каждом интервале, т.е.

. (1.9)

Выбор длин интервалов квантования зависит от априорных данных. Существуют различные методы выбора интервалов квантования. В самом простейшем случае интервалы квантования могут быть равны между собой, т.е. . Тогда выражение (**.6) будет иметь вид

. (1.10)

Произведение - приблизительно равно вероятности того, что измеряемая величина принадлежит интервалу . Погрешность аппроксимации зависит от величины интервала . По условию нормировки

. (1.11)

Используя (**.7) и (**.8) , получим

. (1.12)

Среднеквадратическая ошибка квантования равна

.

Мера информации