Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова.

2.2.3.1. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru описывается выражением (2.8):

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Найдем связь между спектром дискретизированного сигнала Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru и спектром исходного сигнала Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru до его дискретизации Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Для этого учтем выражение для обратного преобразования Фурье Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . Соответственно, для дискретных значений сигнала можно записать следующую связь со спектром исходного непрерывного сигнала Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru :

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Подставим это соотношение в выражение для спектра дискретизированного сигнала:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Учтем, что

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции, в соответствии с которым:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Таким образом, можно записать следующее выражение, которое характеризует связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного непрерывного сигнала:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (3.1)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой периодическую последовательность на оси частот с периодом Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru спектров исходного непрерывного сигнала.

2.2.3.2. Восстановление исходного непрерывного сигнала. Теорема Котельникова.

Если исходный непрерывный сигнал Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ограничен верхней граничной частотой

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ,

то отдельные копии спектра Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru не накладываются друг на друга в спектре дискретизированного сигнала.

Рисунок 3.1 – восстановление исходного непрерывного сигнала

В этом случае аналоговый сигнал Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , подвергшийся дискретизации, в соответствии с теоремой Котельникова может быть полностью восстановлен с помощью идеального ФНЧ, имеющего прямоугольную АЧХ:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru

Импульсная характеристика такого фильтра является обратным преобразованием Фурье от частотной характеристики:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

В этом случае в соответствии с интегралом Дюамеля можно восстановить исходный ограниченный по спектру сигнал в базисе Котельникова с точностью до постоянного множителя:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (3.2)

Точная формулировка теоремы Котельникова имеет следующий вид: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , может быть полностью восстановлен, если известны дискретные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

2.2.4. Z – преобразование дискретных сигналов

2.2.4.1. Определение z – преобразования

При математическом описании дискретных сигналов в выражении для спектра Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru важную роль играет функция Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , которая при преобразованиях возводится в целую степень Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . Однако эта функция является трансцендентной функцией частоты Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , что существенно усложняет спектральный анализ. Для упрощения анализа вводят новую переменную Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , которая связана с частотой Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru выражением:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

При такой замене спектр дискретизированного сигнала преобразуется в рациональную функцию переменной Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru :

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (4.1)

где Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - оригинал Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - преобразования;

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - изображение функции Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Полученное выражение называется прямым двухсторонним Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - преобразованием (одностороннее преобразование суммируется от 0 и совпадает с двухсторонним только для последовательностей, равных нулю для отрицательных значений аргумента Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ).

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - преобразование дискретных сигналов является аналогом преобразования Лапласа для непрерывных сигналов. Вводится для:

- полезно иметь дискретный аналог преобразования Лапласа, справедливый для более широкого класса сигналов;

- при аналитических исследованиях и расчетах пользоваться Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - преобразованием более удобно.

Пример z – преобразования

Пусть необходимо получить z – изображение дискретного единичного скачка:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru

В результате применения z – преобразования к дискретному единичному скачку можно получить:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Таким образом, полученное выражение представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru

при Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Соответственно, z – изображение дискретного единичного скачка имеет вид:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

2.2.4.2. Свойства z – преобразования

1. Линейность:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru имеет z-преобразование Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

2. Задержка:

Последовательность Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru имеет Z-преобразование Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

3. Обращение во времени:

Последовательность Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru имеет z-преобразование Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

4. Масштабирование:

Последовательность Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru имеет z-преобразование Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

5. Свертка:

Последовательность Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , характеризующая связь выходного сигнала через входной через импульсную характеристику дискретного фильтра Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , имеет Z-преобразование:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

2.2.4.3. Обратное z – преобразование

Отыскание оригинала по заданному изображению Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru производится с помощью обратного z – преобразования:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (4.2)

Непосредственное вычисление интеграла (4.2) сложно или невозможно. Поэтому на практике обратное z-преобразование получают более простыми способами:

1. С использованием таблицы соответствий;

2. На основании теоремы Коши о вычетах;

3. Разложение изображения Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru на простые дроби.

Обратное z-преобразование удобно использовать при отыскании отклика дискретной системы на дискретный сигнал и при отыскании импульсной характеристики дискретной системы при известной ее передаточной функции.

Для вычисления обратного z-преобразования с использованием таблицы соответствий в справочнике, содержащем таблицы оригиналов и соответствующих им изображений, находят оригинал для заданного изображения: Таблица 4.1. Достоинством способа является отсутствие необходимости вычисления обратного z-преобразования: просто анализируются результаты прямого z-преобразования для выбранных оригиналов. При вычислении прямого z-преобразования как правило используют выражение для суммы членов геометрической прогрессии и свойства z-преобразования. Недостатком способа является ограниченное число изображений в таблице.

Если z-изображение отсутствует в таблице соответствий, можно использовать разложение изображения на простые дроби. Например:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

В этом случае, пользуясь свойством линейности z – преобразования и Таблицей 4.1 можно получить:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Таблица 4.1. Таблица соответствия

  Последовательность Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru z-изображение
1. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru
2. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru
3. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru
4. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru
5. Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru
6.     Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .
7.   Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Вычисление обратного z – преобразования с использованием вычетов основано на теореме Коши. Суть теоремы заключается в том, что интеграл вида (4.2), позволяющий вычислить обратное z – преобразование, вычисляется как сумма вычетов во всех особых точках (полюсах):

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (4.3)

где Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - вычет функции Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru в k-ом полюсе Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Например, для изображения Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru имеется один полюс Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . Поэтому для получения обратного z – преобразования необходимо вычислить только один вычет:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

2.2.5. Дискретное преобразование Фурье и его свойства

2.2.5.1 Дискретное преобразование Фурье

Спектральная плотность дискретизированного сигнала Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru является непрерывной периодической функцией частоты с периодом Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Рисунок 1.1 – дискретизация сигнала по времени и по спектру

Однако для цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной области, но и в частотной.

Для этого сплошной спектр Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru должен быть представлен совокупностью своих дискретных значений Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Такой спектр может быть получен в результате периодического повторения последовательности Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru с периодом Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

В этом случае интервал между соседними спектральными составляющими равен:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (1.1)

После подстановки Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru получаем следующее выражение для спектральной плотности (с учетом перехода от бесконечной последовательности к конечной длительностью Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ):

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (1.2)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru (для четного N).

Выражение (1.2) называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), которое обычно записывается через аргументы Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru и Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru :

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (1.3)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

С учетом периодичности ДПФ его можно записывать следующим образом:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (1.4)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Можно показать, что обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) записывается в виде:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (1.5)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Таким образом, дискретизированному сигналу Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru соответствует сплошной спектр Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru с периодической структурой. Дискретизированному спектру Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru соответствует периодическая последовательность сигналов Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , повторяемых с периодом N.

ДПФ является линейным преобразованием, трансформирующим вектор временных отсчетов в вектор такой же длины, содержащей спектральные отсчеты. Такое преобразование может быть представлено как результат умножения некоторой квадратной матрицы на входной вектор-столбец:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (1.6)

где Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - матрица преобразования.

Общая формула для элемента матрицы ДПФ, расположенного в Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - м столбце Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru -й строки имеет вид:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (1.7)

Например, при Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru матрица преобразования ДПФ запишется следующим образом:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (1.8)

2.2.5.2. Свойства дискретного преобразования Фурье

1. Линейность ДПФ. ДПФ суммы дискретных последовательностей длительности N равна сумме ДПФ слагаемых суммы и имеет длину N:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; (2.1)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (2.2)

2. ДПФ сумм последовательностей разной длины. Если в исходной сумме последовательностей Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru разные длины: N1, N2, N3, …, то перед вычислением ДПФ всей последовательности необходимо привести последовательности к одинаковой длине N, равной максимальной длине исходных последовательностей, за счет дополнения нулями.

3. Сдвиг ДПФ. Сдвиг ДПФ по оси k вправо на величину k0 соответствует умножению исходной последовательности на комплексную экспоненту Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru :

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (2.3)

4. Сдвиг исходной последовательности. Сдвиг последовательности вправо на m отсчетов (задержка последовательности) соответствует умножению ДПФ на комплексную экспоненту Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru :

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (2.4)

5. Теорема Парсеваля. Теорема Парсеваля для периодических и конечных последовательностей:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (2.5)

Теорема Парсеваля утверждает, что энергию сигнала можно вычислить как по переменной n во временной области, так и по переменной k в частотной области.

6. Свойство симметрии. Свойство симметрии вещественной последовательности:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (2.6)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , (2.7)

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru ; (2.8)

ось симметрии проходит через точку Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru .

Для четного N:

Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru . (2.9)

Из последнего равенства следует, что Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru и Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru всегда действительные числа.

7. ДПФ вещественной последовательности. ДПФ вещественной последовательности полностью определено на интервале Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , который соответствует основному спектру сигнала.

2.2.6. Быстрое преобразование Фурье

Общие сведения о БПФ

Термином «быстрое преобразование Фурье» (БПФ) описывают алгоритмы вычисления дискретного преобразования Фурье, обеспечивающие экономию в требуемом числе арифметических операций и в первую очередь операций умножения.

Для вычисления одного коэффициента ДПФ необходимо выполнить Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru операций комплексного умножения и суммирования. Таким образом, расчет всего ДПФ, содержащего Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru коэффициентов, потребует Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru пар операций «умножение – сложение».

Однако, если Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru не является простым числом и может быть разложено на множители (в частности, является целочисленной степенью 2: Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru , Связь спектра дискретизированного сигнала со спектром исходного сигнала. Теорема Котельникова. - student2.ru - целое число), то процесс вычислений можно ускорить, разделив исходную последовательность на части, вычислив для них ДПФ и объединив результаты.

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления исходной последовательности на части (прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ).

Первый алгоритм БПФ с основанием 2, известный как алгоритм БПФ Кули-Тьюки был опубликован в 1965 г в США учеными Кули и Тьюки.

Наши рекомендации