Теорема В.А. Котельникова. Развертка по времени. Квантование по величине сигнала

непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна по крайней мере в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

fдискр \ge {2 \cdot F_{max}},

где Fmax — верхняя частота в спектре, или (формулируя по-другому) по отсчётам, взятым с периодом не реже полупериода максимальной частоты спектра Fmax:

Tдискр \le \frac{1}{2 \cdot F_{max}}.

Т.е. для дискретизации аналогового сигнала без потери информации частота отсчётов должна быть как минимум в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие "спектр, ограниченный частотой Fmax". Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, т.к. они конечны по времени и, обычно, имеют во временной характеристике разрывы. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова выплывает 2 следствия:

* Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой

fдискр \ge {2 \cdot F_{max}},

где Fmax — максимальная частота, которой мы ограничили спектр реального сигнала.

* Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

\sum x(k\Delta t) \frac{\sin ( \pi F_{D}(t - k\Delta t))}{\pi F_{D}(t - k\Delta t)}.

Под интегральной суммой написана формула отсчётов функции x(t). Мгновенные значения этой функции есть значения дискретизированного сигнала в каждый из моментов времени.

[править] История открытия

Теорема была сформулирована В. А. Котельниковым в 1933 году в его работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.

Если еще проще, то допустим у вас есть речевой сигнал. Он содержит частоты от 300 Герц до 3 килогерц. Для его передачи по цифровому каналу связи вам потребуется "выхватывать" мгновенные значения этого сигнала с частотой, в два раза превышающей самую высокочастотную компоненту сигнала, т.е. 6 кГц. Иными словами, шесть тысяч раз в секунду вы будете измерять значение сигнала, который изменяется не чаще трех тысяч раз в секунду.

Развёртка во времени, способ отображения изменений переменной во времени физической величины посредством однозначного преобразования её в др. величину, изменяющуюся в пространстве. Р. осуществляется т. н. развёртывающим элементом (РЭ), последовательно по заданному закону обегающим пространство так, что каждому моменту времени (и, соответственно, значению исходной физической величины) отвечают определённые пространств. координаты РЭ. Обычно способ обратного преобразования также называют Р., основываясь, по-видимому, на сходстве применяемых в обоих случаях технических приёмов. Так, в приёмной телевизионной трубке (кинескопе) с помощью Р. переменное во времени электрическое напряжение на управляющем электроде преобразуется заданным образом в изменение яркости по поверхности экрана, а в передающей телевизионной трубке с помощью Р., наоборот, ≈ яркость различных участков изображения преобразуется в соответствующим образом изменяющийся электрический ток. В обоих случаях РЭ является точка на поверхности экрана, в которой сфокусирован электронный луч (см. Телевизионная развёртка). Часто Р. называют сам процесс перемещения РЭ, хотя в этом случае можно было бы употреблять термин сканирование. ═ РЭ может быть: световое пятно, перемещающееся по изображению (экрану) при отклонении светового луча (оптическая Р.) или при перемещении самого объекта изображения; небольшое движущееся отверстие в экране, закрывающем изображение, или перо самописца (механическая Р.); светящаяся точка на экране электроннолучевой трубки (электронная Р.) и т.п. Т. к. в одной развёртывающей системе может использоваться комбинация оптических, механических и др. способов как создания, так и отклонения РЭ, то Р. не всегда удаётся точно классифицировать по этим признакам. Р. различают также по траектории движения РЭ: если траектория ≈ прямая линия, то Р. называется прямолинейной, или прямой, если окружность ≈ кольцевой, если спираль ≈ спиральной; если траектория движения РЭ образует растр, то соответствующие Р. называются растровыми и классифицируются далее уже по форме растра; если РЭ движется по контуру изображения, как бы следит за ним, то такую Р. называют следящей. Объектом Р. могут быть физические величины как непрерывные, так и дискретные. ═ Наибольшее применение Р. получила в осциллографах, приборах регистрации автоматической, радиолокационных индикаторах и устройствах передачи информации на расстояние. В осциллографах преимущественно применяются: прямолинейная Р. ≈ периодическая, или непрерывная, если по окончании одного цикла развёртывания немедленно автоматически начинается следующий; ждущая ≈ если каждый цикл начинается только в момент прихода специального «запускающего» сигнала. ═ В индикаторах радиолокационных станций для определения координат цели по экрану индикатора используют двухмерные (например, панорамную, или радиально-круговую), трёхмерные и другие Р. ═ В телевидении и фототелеграфии употребляются в основном растровые Р. с прямоугольным растром. При передаче штриховых и контурных изображений в фототелеграфии, а также при вводе графической информации в ЭВМ иногда применяют системы со следящей Р.

Для преобразования непрерывного сигнала в дискретный используется процедура, которая называется квантованием.( Квантование - операция преобразования аналогового сигнала в дискретный сигнал. Квантование реализуется посредством разбиения диапазона значений аналогового сигнала на конечное число непересекающихся интервалов.

При квантовании происходит округление мгновенных значений аналогового сигнала до некоторой наперед заданной фиксированной величины (уровня). Различают квантование по времени и квантование по амплитуде сигнала.)

Квантование по величине – это отображение вещественных значений параметра сигнала в конечное множество чисел, кратных некоторой постоянной величине – шагу квантования