Примеры дискретных сигналов

Рассмотрим некоторые широко используемые в теории цифровой обработки сигналов последовательности.

1. Сдвиг последовательности x(nT) по оси nT: последовательность y(nT)=x(nT-kT) образуется при сдвиге последовательности x(nT) на k отсчетов вправо (при k >0 ) или влево (при k<0).

2. Дискретная дельта-функция (единичный импульс) определяется соотношением

. (2.3)

3. Аналитическая запись последовательности. Из определения дискретной d-функции следует, что любая последовательность x(nT) может быть записана в виде

(2.4)

так как все члены суммы при равны нулю.

4. Единичная последовательность определяется соотношением

. (2.5)

5. Экспоненциальная последовательность определяется соотношением x(nT)=e^anT, где в общем случае a=s+jw - комплексное число. При w=0 a=s - вещественное и x(nT) =e^snT=cⁿ – вещественная степенная последовательность.

6. Периодической называют последовательность x(nT), удовлетворяющую условию x(nT)= x(nT+mNT), где m и N – целые числа, m=1, 2, 3, …; NT (или N) – период последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода. При выходе в результате сдвига из интервала одного периода какого-то отсчета точно такой же отсчет входит в интервал с другого его конца. Такой сдвиг называется круговым. Заметим еще, что сдвиг периодической последовательности x(nT) с периодом N на k^’>N отсчетов нельзя отличить от сдвига на (k’)_{mod N}=k<N отсчетов.

Получение спектра сигнала

Спектром временной зависимости (функции) x(t) называется совокупность ее гармонических составляющих (гармоник), образующих ряд Фурье.

Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождение коэффициентов a_k, b_k ряда Фурье

, (2.6)

где f₁-частота повторения (или частота первой гармоники), k-номер гармоники.

Коэффициенты ряда Фурье определяются выражениями

, (2.7)

, (2.8)

где T=1/f₁-период повторения периодической функции x(t).

Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье. Спектром X_a(jw) аналогового сигнала x_a(t) называют прямое преобразование Фурье

. (2.9)

В свою очередь, согласно обратному преобразованию Фурье

. (2.10)

Пара преобразований для решетчатой функции (дискретной последовательности) x(nT) имеет вид:

; (2.11)

, (2.12)

где X(e^jwT) называют спектром дискретного сигнала.

Свойства спектров дискретных сигналов.

1. Из (2.11) следует, что спектр X(e^jwT) дискретной последовательности является периодической функцией по частоте w с периодом, равным частоте дискретизации :

; , k=1, 2, 3, … Ясно, что также периодическим по частоте с периодом являются модуль спектра |X(e^jwT)| и фаза –аргумент arg X(e^jwT).

Кроме того, для вещественных последовательностей x(nT), как следует из (2.11),

|X(e^jwT)|= |X(e^-jwT)|,

arg X(e^jwT)= - arg X(e^-jwT),

т.е. модуль спектра вещественной последовательности является четной функцией, а аргумент – нечетной функцией частоты.

2. Очевидно свойство линейности преобразований Фурье.

3. При сдвиге спектра X(e^jwT) последовательности x(nT) по оси частот вправо на величину w₁ получаем спектр Y(e^jwT)= X(e^j(w-w1)T). Этому спектру согласно (2.12) соответствует последовательность y(nT)=e^jw1nTx(nT), и, следовательно, сдвиг спектра по оси частот соответствует умножению последовательности x(nT) на последовательность e^jw1nT.

4. При сдвиге дискретного сигнала x(nT) вправо (т.е. при задержке по времени сигнала) на n₁ отсчетов получаем сигнал y(nT)=x(nT-n₁T) и согласно (2.11) спектр задержанного сигнала

Y(e^jwT)= e^-jwn1T X(e^jwT). (2.13)

5. Дискретный сигнал x(nT) и модуль его спектра | X(e^jwT)| связаны следующей зависимостью (теорема Парсеваля)

(2.14)

Теорема Котельникова

Аналоговый сигнал дискретизируется при помощи дискретизатора, т.е. амплитудно-импульсного элемента, реагирующего на дискретные равноотстоящие значения входного сигнала в моменты t=nT, n=0, 1, 2, … На выходе дискретизатора образуется последовательность выборок x(nT)≈x_a(t)|_t=nT. Наоборот восстановление аналогового сигнала x_a(t) по его дискретному представлению – последовательности выборок x(nT) – сводится к использованию различных интерполяционных процедур.

При выполнении некоторых условий, определяемых теоремой отсчетов (теоремой Котельникова), операции дискретизации и восстановления взаимно обратны. Согласно этой теореме: если аналоговый сигнал x_a(t) имеет ограниченный (финитный) спектр X_a(jw), т.е. такой, что X_a(jw)=0 при |w|>w₀ (условное изображение модуля спектра дано на рис.2.а), то такой сигнал можно однозначно представить последовательностью выборок x(nT), n=0, 1, 2, … при , где w_Д=2pf³2w₀.

При этом

, (2.15)

откуда следует, что сигнал x_a(t) можно получить, если пропустить последовательность x(nT) через идеальный (физически не реализуемый) аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза и с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) |K(jw)|=T в полосе пропускания.

Спектр X(e^jwT) последовательности x(nT), полученной в результате дискретизации с частотой аналогового сигнала x_a(t), и спектр X_a(jw) последнего связаны соотношением

(2.16)

т.е. спектр последовательности x(nT) равен с точностью до множителя сумме спектров соответствующего сигнала x_a(t), смещенных по оси частот на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации .

На рис.2.2.б и в приведено условное изображение модуля спектра |X(e^jwT)| дискретного сигнала x(nT) соответственно для случаев w_Д³2w₀ и w_Д<2w₀. В первом случае спектр дискретного сигнала совпадает в интервале |w|≤|w₀| со спектром аналогового сигнала, а во втором случае имеет место явление наложения спектров, при этом спектр дискретизированного сигнала не совпадает в интервале |w|≤|w₀| с исходным спектром аналогового сигнала.

Таким образом, если аналоговый сигнал x_a(t) обладает финитным спектром X_a(jw) с частотой среза w₀, то он может быть без потери информации представлен последовательностью x(nT) , полученной в результате дискретизации АС с частотой w_Д³2w_0. (2.17)

Наоборот по дискретному сигналу x(nT) может быть согласно (2.15) восстановлен аналоговый сигнал x_a(t).

Во многих случаях спектр X_a(jw) аналогового сигнала x_a(t) не содержит частоту w=0, а сосредоточен в некоторой полосе 0¹w_min≤w≤w_max<¥; таким является, например, спектр радиосигналов, модулированных по амплитуде или фазе. В этих случаях для точного представления аналогового сигнала последовательностью выборок условия (2.17) приводит к завышенным значениям необходимой частоты дискретизации; между тем достаточно выбрать частоту дискретизации , удовлетворяющую равенствам

(2.18)

где q=1, 2, …, E_ц , причем запись Е_ц[A] означает «целая часть числа А». Если частота дискретизации выбрана недостаточно высокой и (2.18) не удовлетворяется, то имеют место наложения смещенных спектров и в результате спектр X(e^jwT) дискретного сигнала в диапазоне отличается от спектра аналогового сигнала X_a(jw), т.е. дискретизация аналогового сигнала приводит к потере информации.