Вращательное движение. Частота вращения, период. Угловая скорость и угловое ускорение. Уравнение равномерного и равнопеременного вращательного движения

Вращательным движением твердого тела вокруг оси называется движение, при котором какие-либо его две точки остается неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела при вращательном движении описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения и с центрами, лежащими на этой оси. Тело, совершающее вращательное движение, имеет одну степень свободы, и его положение определяется углом φмежду проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним.Для характеристики вращательного движения твердого тела вводят угловые характеристики:- угловое перемещение ;
- угловую скорость ;- угловое ускорение .

Угловым перемещением называется вектор , модуль которого равен бесконечно малому углу поворота твердого тела при его вращений, а направление его определяется по правилу правого винта: если правый винт вращать в плоскости вращения тела по направлений его вращения, то перемещение его покажет направление .Угловая скорость - векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. Угловая скорость равна производной от угла поворота тела по времени. Радиан в секунду равен угловой скорости равномерного вращения тела, при котором оно поворачивается на угол 1 радиан, относительно оси вращения, за время 1с. Радиан на секунду в квадрате равен угловому ускорению равноускоренного вращения тела, ври котором за время 1сугловая скорость изменяется на .Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, Это дает возможность во многих случаях получить большую наглядность, а так же упростить анализ движения.

https://studopedia.ru/4_11065_lineynie-skorosti-i-uskorenie-svyaz-mezhdu-lineynimi-i-uglovimi-kinematicheskimi-velichinami-analogiya-formul-opisivayushchih-postupatelnoe-i-vrashchatelnoe-dvizhenie-tverdogo-tela.html

Работа и кинетическая энергия

План лекции 1. Работа и кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Теорема Кёнига. 2. Консервативные и неконсервативные силы. 3. Потенциальная энергия.   1. Работа и кинетическая энергия По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении называется скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1): . (6.1) α — угол между векторами и , FS = F × Cosα — проекция силы на направление перемещения . Рис. 6.1 Работа силы — скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Формально знак работы определяется знаком косинуса. Если — Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности. Для того чтобы вычислить работу на конечном участке траектории, нужно рассмотреть криволинейный интеграл вектора вдоль этого участка траектории: . (6.2) Если в процессе движения на тело действует система сил , , …, , то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение = + + … + на направление элементарного перемещения : FS = F1S + F2S + … + FnS. Теперь, умножив это уравнение на dS, получим искомый результат: FSdS = F1SdS + F2SdS + … + FnSdS, то есть: . Элементарная работа равнодействующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Это утверждение справедливо и для работ на конечном участке траектории: . В системе СИ работа измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н × 1 м. Работа, выполняемая в единицу времени, называется мощностью: . Мощность — важная характеристика любого механизма. Единицей мощности является 1 Ватт. Это мощность устройства, которое ежесекундно совершает работу 1 Дж: 1 Вт = . Теперь обратимся к теореме о кинетической энергии. Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению кинетической энергии этой точки. Докажем это положение. Материальная точка массы m движется под действием силы . Вычислим работу силы на участке 1-2 траектории. . (6.3) Здесь мы воспользовались определением вектора силы и кинематическим уравнением движения . Будем считать, что масса частицы в процессе движения не меняется, тогда: . Воспользуемся этим результатом в уравнении (6.3): . (6.4) Теперь проделаем следующее очевидное преобразование: так как V2 = , то 2VdV = или = VdV. Используя это равенство в уравнении (6.4), получим окончательный результат: . (6.5) Величина = Ек называется кинетической энергией материальной точки. Уравнение (6.5) является математической записью теоремы о кинетической энергии: работа силы, действующей на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии. Важность и смысл введения понятия «работа силы» объясняется именно тем, что работа связана с изменением кинетической энергии тела: . (6.6) Кинетическая энергия системы тел принимается равной сумме кинетических энергий всех элементов системы. Теорема о кинетической энергии остаётся справедливой и для случая системы тел: работа всех сил, действующих на систему материальных тел, равна изменению кинетической энергии этой системы. Здесь важно подчеркнуть, что речь идёт о работе не только внешних сил, но и внутренних, то есть сил взаимодействия элементов системы друг с другом. Теорема Кёнига: скорость частицы и её кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, в которой рассматривается движение частицы. В теореме Кёнига устанавливается правило преобразования кинетической энергии при переходе из одной системы отсчёта в другую. Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть её кинетическая энергия в системе отсчёта S равна Ек. Какова будет её энергия в системе отсчёта S’, движущейся со скоростью относительно S? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея): . Возведём это равенство в квадрат и домножим на . Таким образом, устанавливается связь кинетических энергий частицы в разных системах отсчёта: . (6.7) Обобщим этот результат на произвольную систему n материальных точек. Для каждой частицы системы можно записать уравнение (6.7). Теперь сложим все эти уравнения: . (6.8) Здесь: = К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчёта S. = — кинетическая энергия той же системы в системе отсчёта S’. = = , где М = — масса системы. = = = , где — скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчёта S’. Таким образом, уравнению (6.8) можно придать такой вид: К= + + . (6.9) Если движущуюся систему отсчёта S’ связать с центром масс, то в такой системе = 0. Формула теоремы Кёнига в этом случае упрощается: (6.10) Подводя итог, сформулируем теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

http://fizika-student.ru/rabota_i_kineticheskaya_energiya__22_243.html