Геометрический смысл несобственного интеграла.

Несобственные интегралы.

Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).

Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).

Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru имеет смысл при b>a.

Определение.Если существует конечный предел

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (1),

То этот предел называютнесобственным интегралом Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruот функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru.

Т.о. по определению имеем: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся (к данному пределу), в противном случае- расходящимся.

Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;

2) вычисление значения интеграла, если он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).

Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruиГеометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruсходятся. Тогда

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (3)

При этом интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходящийся.Если хотя бы один из интегралов Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruилиГеометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruрасходится, то не собственный интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru называетсярасходящимся.

Это определение не зависит от выбора числа а.

Пример 1.I= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =0- Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru -0= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

I= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (a>0).

Пусть р¹1, тогда

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru , если р>1.

Если р=1, то Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.

Т.о. интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (a>0) при р>1 сходится и имеет значение Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru , а при р£1 – расходится.

Признаки сходимости.

Теорема 1.Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).

Тогда Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (4).

1) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится Þ существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Þ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

2) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится Þ существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Þ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

3) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Покажем, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Допустим противное, что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие.

4) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Покажем, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Допустим противное, что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие. Ч.т.д.

Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (а значит и интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К, для любого В (B>b).

Доказательство. Интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.

Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).

Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:

1) из сходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (5) следует сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (6)

2) из расходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru следует сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.

Тогда 0£ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (7).

1) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходитсяÞ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходитсяÞ существует число K>0 такое, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К "ВÞпо теореме 2: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходитсяÞ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

2) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Нужно доказать, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Допустим противное, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие. Ч.т.д.

Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Пример 1.Исследовать сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Сравним подынтегральную функцию f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru с функцией g(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru < Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =-(0-1)=1

Т.к. интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится, то и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru тоже сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru > Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

С другой стороны, Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =+∞

Следовательно, расходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения).Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (l¹0, l¹¥).

Тогда интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Функция f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru ~ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Тогда Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =1 (1¹0, 1¹¥).

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится (р= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru >1), следовательно и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится.

Признак Абеля-Дирихле.

Теорема.Пусть имеется несобственный интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,+¥) и имеет там ограниченную первообразную F(x);

2) g(x) определена на промежутке [a,+¥) и имеет там непрерывную первообразную g¢(х);

3) g(x) монотонно убывает на [a,+¥) (Þg¢(х)£0, хÎ[a,+¥));

4) Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =0 (Þg(х)³0, хÎ[a,+¥)).

Тогда Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится.

Пример.

Несобственные интегралы.

Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).

Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).

Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru имеет смысл при b>a.

Определение.Если существует конечный предел

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (1),

То этот предел называютнесобственным интегралом Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruот функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru.

Т.о. по определению имеем: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся (к данному пределу), в противном случае- расходящимся.

Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;

2) вычисление значения интеграла, если он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).

Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruиГеометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruсходятся. Тогда

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (3)

При этом интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходящийся.Если хотя бы один из интегралов Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruилиГеометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ruрасходится, то не собственный интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru называетсярасходящимся.

Это определение не зависит от выбора числа а.

Пример 1.I= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =0- Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru -0= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

I= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (a>0).

Пусть р¹1, тогда

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru , если р>1.

Если р=1, то Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.

Т.о. интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (a>0) при р>1 сходится и имеет значение Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru , а при р£1 – расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru При f(x)≥0 интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru выражает площадь области, ограниченной кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Несобственный интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru выражает площадь бесконечной области, заключенной между кривой у=f(x), осью Ох и прямой х=а. Аналогично определяет геометрический смысл интегралов Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (локон Аньези) и осью Ох.

Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Т.к. Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =0, то ось Ох является горизонтальной асимптотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бесконечной области, т.е. требуется вычислить несобственный интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Т.к. функция у= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, следовательно,

S= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (arctg t-arctg 0)=2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =π.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение.

Признаки сходимости.

Теорема 1.Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).

Тогда Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru + Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (4).

1) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится Þ существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Þ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

2) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится Þ существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru Þ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

3) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Покажем, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Допустим противное, что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие.

4) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Покажем, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Допустим противное, что интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие. Ч.т.д.

Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (а значит и интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К, для любого В (B>b).

Доказательство. Интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.

Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).

Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:

1) из сходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (5) следует сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (6)

2) из расходимости интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru следует сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.

Тогда 0£ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (7).

1) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходитсяÞ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходитсяÞ существует число K>0 такое, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru £К "ВÞпо теореме 2: Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходитсяÞ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится.

2) Пусть Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - расходится. Нужно доказать, что расходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Допустим противное, что Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru . Получили противоречие. Ч.т.д.

Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Пример 1.Исследовать сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

Сравним подынтегральную функцию f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru с функцией g(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru < Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =-(0-1)=1

Т.к. интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится, то и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru тоже сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru > Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru

С другой стороны, Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =2 Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =+∞

Следовательно, расходится и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения).Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru (l¹0, l¹¥).

Тогда интегралы Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость интеграла Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Функция f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru ~ Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru .

Тогда Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru = Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru =1 (1¹0, 1¹¥).

Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru - сходится (р= Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru >1), следовательно и интеграл Геометрический смысл несобственного интеграла. - student2.ru сходится.

Наши рекомендации