Геометрический смысл несобственного интеграла.
Несобственные интегралы.
Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.
Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).
Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.
Определение.Если существует конечный предел
(1),
То этот предел называютнесобственным интегралом от функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .
Т.о. по определению имеем: =
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся (к данному пределу), в противном случае- расходящимся.
Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;
2) вычисление значения интеграла, если он сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.
Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:
= (2)
Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).
Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы исходятся. Тогда
= + (3)
При этом интеграл сходящийся.Если хотя бы один из интегралов илирасходится, то не собственный интеграл называетсярасходящимся.
Это определение не зависит от выбора числа а.
Пример 1.I= = = +
= =0- =
= = -0=
I= + =
Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).
Пусть р¹1, тогда
= =
При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число , если р>1.
Если р=1, то = =
При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.
Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р£1 – расходится.
Признаки сходимости.
Теорема 1.Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).
Тогда = + (4).
1) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.
2) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.
3) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .
Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл . Получили противоречие.
4) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .
Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что £К, для любого В (B>b).
Доказательство. Интеграл =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .
Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.
Тогда 0£ £ (7).
1) Пусть сходитсяÞ сходитсяÞ существует число K>0 такое, что £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что £К "ВÞпо теореме 2: - сходитсяÞ - сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией .
Пример 1.Исследовать сходимость интеграла
Сравним подынтегральную функцию f(x)= с функцией g(x)= на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке < .
= = = =-(0-1)=1
Т.к. интеграл сходится, то и тоже сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .
> =
С другой стороны, = = =2 =+∞
Следовательно, расходится и интеграл .
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения).Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l= (l¹0, l¹¥).
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать сходимость интеграла .
Функция f(x)= определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= ~ при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= .
Тогда = =1 (1¹0, 1¹¥).
- сходится (р= >1), следовательно и интеграл сходится.
Признак Абеля-Дирихле.
Теорема.Пусть имеется несобственный интеграл .
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,+¥) и имеет там ограниченную первообразную F(x);
2) g(x) определена на промежутке [a,+¥) и имеет там непрерывную первообразную g¢(х);
3) g(x) монотонно убывает на [a,+¥) (Þg¢(х)£0, хÎ[a,+¥));
4) =0 (Þg(х)³0, хÎ[a,+¥)).
Тогда сходится.
Пример.
Несобственные интегралы.
Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.
Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).
Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.
Определение.Если существует конечный предел
(1),
То этот предел называютнесобственным интегралом от функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .
Т.о. по определению имеем: =
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называетсясходящимся (к данному пределу), в противном случае- расходящимся.
Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:
1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;
2) вычисление значения интеграла, если он сходится.
Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.
Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:
= (2)
Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).
Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы исходятся. Тогда
= + (3)
При этом интеграл сходящийся.Если хотя бы один из интегралов илирасходится, то не собственный интеграл называетсярасходящимся.
Это определение не зависит от выбора числа а.
Пример 1.I= = = +
= =0- =
= = -0=
I= + =
Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).
Пусть р¹1, тогда
= =
При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число , если р>1.
Если р=1, то = =
При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.
Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р£1 – расходится.
Геометрический смысл несобственного интеграла.
При f(x)≥0 интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Несобственный интеграл выражает площадь бесконечной области, заключенной между кривой у=f(x), осью Ох и прямой х=а. Аналогично определяет геометрический смысл интегралов и .
Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= (локон Аньези) и осью Ох.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
Т.к. =0, то ось Ох является горизонтальной асимптотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бесконечной области, т.е. требуется вычислить несобственный интеграл .
Т.к. функция у= четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, следовательно,
S= =2 =2 =2 (arctg t-arctg 0)=2 =π.
Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение.
Признаки сходимости.
Теорема 1.Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).
Тогда = + (4).
1) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.
2) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.
3) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .
Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл . Получили противоречие.
4) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .
Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл . Получили противоречие. Ч.т.д.
Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что £К, для любого В (B>b).
Доказательство. Интеграл =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.
Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).
Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:
1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)
2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .
Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.
Тогда 0£ £ (7).
1) Пусть сходитсяÞ сходитсяÞ существует число K>0 такое, что £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что £К "ВÞпо теореме 2: - сходитсяÞ - сходится.
2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.
Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией .
Пример 1.Исследовать сходимость интеграла
Сравним подынтегральную функцию f(x)= с функцией g(x)= на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке < .
= = = =-(0-1)=1
Т.к. интеграл сходится, то и тоже сходится.
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .
> =
С другой стороны, = = =2 =+∞
Следовательно, расходится и интеграл .
Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения).Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел
l= (l¹0, l¹¥).
Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать сходимость интеграла .
Функция f(x)= определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= ~ при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= .
Тогда = =1 (1¹0, 1¹¥).
- сходится (р= >1), следовательно и интеграл сходится.