Парабола окруж-ть(центр(0;1)

Х – обл-ть опред-я ф-ции

х₁, х₂… х_n – независ-е переем-е (аргументы)

Z – ф-ция Пример: Z=П х²₁*х₂ (Объем цилиндра)

Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х₁, х₂ замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.

Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.

Пример: х = х₀, зн. пл-ть Х || 0уz у = у₀ 0хz Вид ф-ции: Z=f(х₀,y); Z=f(x,у₀)

Например: Z=x²+y²-2y

Z= x²+(y-1)²-1 x=0 Z=(y-1)²-1 y=1 Z= x²-1 Z=0 x²+(y-1)²-1

Парабола окруж-ть(центр(0;1)

1б.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных

Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х₀,y₀), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х₀|<б; |y-y₀|<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|<E

Z=f(х;у) непрерывна в т.(х₀,y₀), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х₀ и у к у₀; - этот предел = знач-ю

ф-ции в т.(х₀,y₀), т.е. limf(х;у)=f(х₀,y₀)

Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области

2. Частные производные первого и второго порядка

Производная первого порядка(которая называется частной) Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х_0,у_0.Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y). Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е.

z’_x = Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.

Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.

Для ф-и 2-х переем-х сущ 4 части произв-х 2 порядка:

3. Полный дифференциал функции 2-х переменных

Пусть z = f(x,y), тогда dz = - наз полным дифференциалом

Учитывая, что для ф-и f(x,y)=x, f(x,y)=y, df(x,y)=∆x=dx, df(x,y)=∆y=dy, полный диф-л можно записать в виде:

Геометрич смысл. О. Т. наз max(min) ф-и z = f(x,y), если сущ некот окрест-ть т. такая, что для всех x,y из этой окрест-ти вып-ся нер-во f(x,y)<f (max) или f(x,y)>f (min). Т.: Если задана точка экс-ма ф-и 2-х переем-х , то знач-е частных произв-х в этой точке = 0, т.е. ,

Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими.

Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума.

Достат усл-е экстр-ма: Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда

1) , причем max, если A<0, min, если A>0.

2) , экстр-ма в т. нет

3) , треб-ся доп исслед-е

приближ выч-ях знач-й ф-и 2-х переем-х, исп-ся след формула:

4.Экстремум функции двух переменных

На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент завис-тей.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f(x) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f(x) от соответствующих опытных знач-й . Рассм-м функцию (т.е. сумму квадратов всех невязок) Пусть в кач-ве ф-и у = f(x) взята лин ф-я у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b, при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S(a,b) есть ф-я 2-х переем-х a и b, а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумах. Находим частные производные

или

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min).

6.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x ? (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b). Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я. О. Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-и f(x) обозн-ся

Св-ва НИ:

7. Интегрир-е путем замены переменной (подстановкой)

М-д подстановки

∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

А

7.вычисление площади плоской фигуры заданной системе координат. В полярной системе точка это пара чисел , любая линия равна .

Объемы тел вращения

1.

2.

17.Несобственные(н/с) интегралы.

А) н/с интеграл с бесконечным верхним пределом инт.

О1. У=f(x), хЄ[a;+¥) , где а- конечное число. Ф-ция f(x) и интегрируема на любом отрезке [а;B] Ì [a;+¥). (1) --н/с интеграл с бесконечным верхним пределом

Б) н/с интеграл с бесконечным нижним пределом

О3. у= f(x) (-∞;b), которая определена и интегрируемана [А;В]с(-∞;b)

(2) --н/с интеграл с бесконечным нижним пр.

В) н/с интеграл с двумя бесконечн. пределами интегр.

О5. у=f(x) (-∞;+∞), (А;В)с(-∞;+∞)

(3) --н/с интеграл с 2мя бесконечн пределами можно переписать как

(4) где -∞<С<+∞ , (3)=(4)

И. на конечном промежутке

А)пусть ф-ция f(x) определена на конечном промежутке [a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,x]Ì[a,b)

Б)н/с интеграл от разрывных функции

пусть задана ф-ция у=f(x) [a;b], причем cÎ[a;b], такая, что ф-ции f(x) в этой точке имеет бесконечный разрыв (x=c – точка разрыва второго рода) , тогда --н/с интеграл от разрывной ф-ции

Если оба предела в правой части существуют и явл конечными числами, то н/с интеграл разрывн ф-ции назыв сходящимся, а если один из пределов не сущ. или =∞, то н/с интеграл наз. расходящимся

18. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.

Пусть ф-ция определена и интегрируема на замкнутом промежутке [a;b], за исключением конечного числа точек [a;b], в которых ф-ция терпит разрыв 2-го рода. Тогда интеграл наз-ся несобственным интегралом от разрывной ф-ции и вычисляется по правилу:

19. Дифференциальное уравнение(ДУ)

Осн.понятия

Реш с помощью подстановки

z=y/x y=zx y’=z’_xx+z

z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x

6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by

21. Линейные ДУ 1-го порядка

Уравнение вида ,

где p(x) и q(x) – заданные функции, назыв. линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Если в ур-нии 1 правая часть тождественно равна 0, то получим ур-ние вида (2) (однородное линейное ДУ 1-го порядка)

2—решают как ур-ние с раздел. переменными

1—решают с помощью подстановки:

,

(u’v+uv’)+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

Подставляем во 2-ое уравнение системы (b):

Общее решение уравнения :

22. Линейные ДУ 2-го порядка.

Вид:

Методика решения:

Уравнение

Общее решение зависит от корней характеристического.

a) D<0, , тогда решение имеет вид:

b)D=0, =>

c) D<0, =>

23. Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение.

Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:

(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция

Если r(x) =0, то

(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.

Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2) Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D>0 тогда общее решение:

y=C1 C1, C2 прин.R

2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0

y= C1, C2 прин.R

3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;

y= C1 C1, C2 прин.R

24. Лин неоднор ДУ 2-го порядка с пост коэфф-ми.

Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q ? R , r(x)-функция. которое имеет вид y=yO+yЧ, где

yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0

yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит от вида правой части,т.е r(x)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n»

В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:

• yЧ=Qn(x) при q≠0

• yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0

• yЧ=x² Qn(x) q=p=0

2) r(x)=а где а,м ? R , а,м =соnst

Вид частного решения следущее:

• yЧ=А если «м» не явл корнем Ур-я к²+pк+q=0

(корни некратные,некомплексные)

• yЧ=Аx если «м» –простой корень ур-я к²+pк+q=0

•yЧ=Аx² если «м»-кратный корень Ур-я к²+pк+q=0

3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const

• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0

• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p²+(q-m²)=0, p=0,q= m²

25.Числовой ряд и его сходимость.

Пусть задана бескон послед-ть чисел …

Тогда + +… +…= (1) наз числовым рядом, а числа -члены ряда, -общий член ряда.

Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).

Сумма вида =

= + = +

= + +… = +

Свойства сходящихся рядов

Свойства-1. Если ряд u₁+u₂+u₃+….u_n+…= (1) сход(расх.). И его сумма-S то сход(расх если с не равно 0) ,также и ряд и его сумма c*S.

2.Если ряд (1) и ряд их суммы S1 и S2 соответственно ,то сход и ряды и их суммы равны S1+S2.

3.Если к ряду (1) прибавить или отнять от него конечное число членов, то получим ряд и ряд (1) сход или расх одновременно. Ряд u_n+1+u_n+2+…= обознач. Rn-остаток ряда (1),если ряд (1) сход. то его остаток стрем. к 0 при n стрем. к бесконечн.( Rn=0).

Необход.признак сходимости- если ряд(1) сход. то общий член этого ряда стрем к 0 ( a_n=0) Док-во: u_n= (Sn-S_n-1)=0. Данный признак –не явл-ся достаточным(например гарм. ряд расх но u_n= 1/n стрем. к 0).

Док-во расх-ти гармонического ряда по Коши: f(x)=1/x = ; = (lnx) = (lnB*0),где lnB→

Ряд гармонический и он всегда расход

Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а0 и знаменателем прогрессии, равным q.

Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:

Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исх ряд.

, область сход-ти (-R;R). Тогда для x (-R;R) ряд f(x) можно почленно дифференцировать. Также его можно почленно интегрировать для всех x (a,b)<(-R;R). .

35. Разложение некоторых элементарных ф-ций в степенные ряды

Х – обл-ть опред-я ф-ции

х₁, х₂… х_n – независ-е переем-е (аргументы)

Z – ф-ция Пример: Z=П х²₁*х₂ (Объем цилиндра)

Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х₁, х₂ замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.

Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.

Пример: х = х₀, зн. пл-ть Х || 0уz у = у₀ 0хz Вид ф-ции: Z=f(х₀,y); Z=f(x,у₀)

Например: Z=x²+y²-2y

Z= x²+(y-1)²-1 x=0 Z=(y-1)²-1 y=1 Z= x²-1 Z=0 x²+(y-1)²-1

Парабола окруж-ть(центр(0;1)

1б.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных

Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х₀,y₀), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х₀|<б; |y-y₀|<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|<E

Z=f(х;у) непрерывна в т.(х₀,y₀), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х₀ и у к у₀; - этот предел = знач-ю

ф-ции в т.(х₀,y₀), т.е. limf(х;у)=f(х₀,y₀)