Парабола и ее свойства

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

5.1. Канонические и параметрические уравн прямой. Урав прямой, проходящ через две точки.

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки , лежащей на прямой, - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t — производный параметр, при этом

Сведение общего урав. прямой в пространсве к каноническим уравнениям.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

Взаимн распол-ние прямй и плоскоси. Угол между прямой и плоскостью

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

Взаимное расположение прямой и плоскости

Плоскость и прямая

1) пересекаются

2) прямая лежит в плоскости

3) параллельны

Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

2)

3)

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

2,3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

Способы задания прямой на плоскости: а)прям,проход-я через точку перпенд-но данному вектору; б)общ уравн в) урав в отрезках; г) урав прямой с угловым коэфф-нтом; д) урав прям, проходящ через точку в данном направлении.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.