Рентгеновские спектры. закон мозли

Оптические спектры излучения возникают при переходе внешних валентных электронов из возбуждённого состояния в основное.

Рентгеновские спектры ¾ при переходе электронов внутренних оболочек => они сходны для различных элементов.

<РИС>

w_k_a=R(z-1)²(1/1²-1/2²);

w_k_b=R(z-1)²(1/1²-1/3²);

......................................

w_z_a=R(z-7s)²×(1/2²-1/3²);

w=R(z-s)²(1/m²-1/n²), s ¾ постоянная экранирования.

sqrt(w)=c(z-s) ¾ закон Мозли.

С помощью закона Мозли можно точно определить Z, что помогает разместить элемент в системе Менделеева.

ВОПРОС-21 {49-50, к: 100-103}: АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА

Взаимодействие атома с магнитным полем приводит к изменению энергии атома => изменяются спектры излучения и поглощения.

Расщепление энергетических уровней и, соответственно, спектральных линий в магнитном поле ¾ эффект Зеемана (1896).

“Простой (нормальный) эффект” ¾ в полях, где энергия взаимодействия M с B >> расстояния между соседними уровнями в отсутствие поля: (M, B) >> |E_n-E_n_-1|

“Сложный (аномальный) эффект”: (M, B) < |E_n-E_n_-1|

Магнитный момент атома: M=m_Бg×sqrt(J(J+1)); m_Б=e‚/2m_e ;

g=3/2 + [S(S+1)-L(L+1)]/(2J(J+1)) ¾ Фактор Ланде.

P_m=gm_Б×sqrt(J(J+1));

(P_m)_B=gm_Jm_Б ; DE=(P_m)_B×B=ym_Jm_БB; ²^s⁺¹L_J à на (2J+1) подуровней.

Расщепление энергетических уровней соответствует расщеплению спектральных линий, смещение которых описывает выражение:

Dw=(DE’-De’’)/‚ = [(m_БB)/‚]×(g’m_J’-g’’m_J);

НОРМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА {к: 102}

Рассмотрим синглетные термы.

2S+1 = 1 => S=0 , g=1;

w=[(m_БB)/‚]Dm_J ; Dm_J=0, ±1;

Рассмотрим расщепление энергетического уровня и соответствующих спектральных линий.

<РИС>

Три компоненты наблюдаются, если наблюдение идёт перпендикулярно направлению магнитного поля. Если наблюдение ведётся вдоль поля, то наблюдается две компоненты.

<РИС>

¾ продольный эффект Зеемана.

Аномальный (сложный) эффект Зеемана наблюдается для термов, обладающих тонкой структурой.

На зеемановском расщеплении энергетических уровней атомов в магнитном поле основано явление электронного парамагнитного резонанса, который состоит в избирательном поглощении энергии переменного электромагнитного поля веществом, находящемся в постоянном магнитном поле.

29. ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля с системой, обладающей дискретным энергетическим спектром.

<РИС>

Согласно статистике Максвелла-Больцмана число систем в состоянии E_m: N_m~e^¾⁽^Em^/^kt⁾, N_n~e^¾⁽^En^/^kt⁾ ; N_m/N_n=e^[(^En^-^Em^)/^kT^]=e^‚^w^/^kT

N_m/N_n<1 => термодинамическое равновесие.

Есть три типа перехода:

1. Спонтанный переход из E_m в E_n:

A_mn=1/t, t ¾ время жизни в возбуждённом состоянии.

N_m=N_m0e^¾^Anm^×^t ;

Спонтанный переход зависит только от свойств атома.

Если облучать равновесную систему фотонами с частотой w_mn (и U_w) à два типа перехода:

2. Вынужденное поглощение:

P_nm=B_nmU_w ¾ вероятность

B_nm ¾ коэффициент Эйнштейна

U_w ¾ спектральная плотность электромагнитного излучения.

3. Вынужденное (индуцированное) излучение:

P_mn=B_mnU_w ;

2 и 3 ¾ зависят не только от свойств атомов.

Исходя из термодинамических соображений, Эйнштейн (в 1918) показал равновероятность вынужденных переходов: P_nm=P_mn , B_nm =B_mn ;

Основываясь на этом факте, Эйнштейн дал простой вывод формулы Планка.

В состоянии равновесия между излучением и поглощением число переходов с излучение должно быть равно числу переходов с поглощением.

N_mn^{спонтанное}=N_mn^{вынужденное} ;

N_mA_mn + N_mB_mnU_w=N_nB_nmU_w ;

U_w=[A_mn/B_mn]×[1/[(N_n/N_m)-1]] = [A_mn/B_mn]×[1/(e^‚^w^/kT-1)];

U_w=(kT/‚w)(A_mn/B_mn); U_w=[(‚w²)/(p²c³)]×[kT/‚w];

[A_mn/B_mn]=(‚w³)/(p²c³);

U_w=[(‚w³)/(p²c³)]× [1/(e^‚^w^/kT-1)]

ЛАЗЕРЫ

Эффект вынужденного излучения ¾ физическая основа создания лазера.

В состоянии термодинамического равновесия N_m<N_n система будет ослаблять проходящее через неё излучение.

При N_m>N_n индуцированное излучение преобладает над поглощением => термодинамически неравновесное состояние с инверсной населённостью.

Процесс создания инверсной населённости ¾ накачка.

Способы накачки:

1. Оптическая ¾ с помощью ламп вспышки (рубиновые лазеры).

2. С помощью возбуждения в газовой среде электрического разряда.

Происходит усиление излучения, проходящего через инверсную область, которое снимает инверсию, переводя энергию излучения атомов в когерентное излучение.

Усиление волны ¾ “отрицательное поглощение”.

I=I₀e^¾^ƒ^l ¾ закон Бугера.

В случае усиления говорят, что коэффициент поглощения ¾ отрицательный.

Для создания генератора когерентных электромагнитных волн не достаточно одного усилителя. Для формирования высоких временной и пространственной когерентности необходимо поместить активную среду в оптический резонатор, представляющий собой два параллельных зеркала.

<РИС>

Расходимость излучения = 10^-4¾10^-5 рад.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ

Рентгеновские спектры практически не зависят от того, в состав каких химических элементов входит данный элемент => сила, удерживающая атомы в молекулах, вызваны взаимодействием внешних электронов. Рассмотрим, как химическая теория объясняет химические связи. Различаются два вида химических связей => два вида молекул:

1. Ионная (гетерополярная): NaCl ;

2. Ковалентная (гомеополярная): H₂ ;

Квантовомеханическое объяснение второй теории было дано Гейтлером и Лондоном в 1927 году.

ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ {к: 108-110}

[-(‚²/2M)D₁ - (‚²/2M)D₂ - (‚²/2M)D₁ - (‚²/2M)D₂ + U(r_i, R_i)]×Y(r_i, R_i)=E(r_i, R_i)Y(r_i, R_i);

u=(-c²/4pe₀)[1/r_1a + 1/r_2a + 1/r_1b + 1/r_2b - 1/r_ab - 1/R];

Нужно искать приближённое решение. Его находят, исходя из деления частиц молекул на две подсистемы: быстро движущиеся электроны и медленно движущиеся ядра.

m_Я=2000m_e ;

В нулевом приближении ядра считают неподвижными и находят закон движения электронов. Затем учитывают колебания ядер относительно равновесия и вращение вокруг центра масс.

E=E₀+E_J+E_r ;

1. E_e(R_i) ¾ электроны в молекулах являются функциями радиус-векторов ядер, причём эта зависимость различна для электронов с парными и антипарными спинами. E₀ ¾ сумма энергий отдельных атомов.

2. E_J ¾ колебательная (вибрационная) энергия.

E_J = (J+1/2)‚w_J ; w_J ¾ зависит от электронной конфигурации.

3. E_r ¾ вращательная (ротационная) энергия.

E_r = Iw²/2 = (Iw)²/2I = L_J²/2I = [‚²J(J+1)]/(2I)

Изобразим энергетические уровни молекулы.

МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ

Зная схему энергетических уровней, можно объединить спектры излучения и поглощения молекулы, которые в отличие от атомных линейчатых спектров называются полосатыми.

Излучение фотона сопровождается: ‚w=E’-E=E’_e+(J’+1/2)‚w’_J -

-(J+1/2)‚w_J + B’J’(J’+1)-B_J(J+1); B=h²/2I ¾ ротационная постоянная.

1. Вращательные спектры: DE_r¹0, lJ=±1;

2. Колебательно-вращательные спектры: DE_r¹0, DE_J¹0, DJ=±1;

3. Электорнно-колебательные спектры: DE_l¹0, DE_J¹0;

4. Электронно-колебательно-вращательные: DE_l¹0, DE_J¹0, DE_r¹0;

КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА

Комбинационное рассеяние света заключается в том, что при прохождении света через газы, жидкости, твёрдые тела кроме несмещённой линии с w₀ содержатся смещённые линии, частоты которых представляют собой комбинацию w₀ и частот колебательных и вращательных переходов рассеивающих молекул.

w=w₀±w_i ;

“+” ¾ фиолетовые спутники, “-“ ¾ красные спутники.

w_i ¾ не зависит от w₀, I_фиолет_.Растёт с ростом T ;

ВОПРОС-24 {55-58, к: 112-117}: ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВЫХ СТАТИСТИК

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основная задача статистики ¾ найти наиболее вероятное состояние.

Функция распределения ¾ выражает связь между состоянием системы и состоянием частиц.

Состояние системы задаётся с помощью термодинамических параметров.

U, T, m (химический потенциал) и т.д.

TdS=dU+pdV, N=const;

dU=TdS-pdV+mdN, N¹const;

m=(дU/дN)_S_,_V ¾ изменение внутренней энергии системы.

Состояние частиц определяется координатами, импульсом или энергией, которая является функцией от координат и импульса.

Пусть в системе, характеризующейся параметрами T и m, находится dN_T, m(E) частиц с энергией от E до E+dE;

dN_T, m(E) можно представить в виде произведения числа состояний (dn(E) на dE) на вероятность заполнения этих состояний.

f(E)=<n(E)> ¾ среднее число частиц, находящихся в этом состоянии.

Введём функцию плотности состояний r(E):

dN_T, m = (dN/dn)(dN/dE)dE = f(E)r(E)d(E);

òf(E)r(E)dE {0, E_max} = N ¾ условие, фиксирующее число частиц в системе (условие нормировки f(E));

Вид f(E) зависит от свойств частиц. Для проявления специфики микрочастиц необходимо их попадание в одно состояние (“встреча”).

N/n << 1 => свойства системы не зависят от свойств частиц (невырожденные системы, описываемые статистикой Максвелла-Больцмана).

N/n ~ 1 => свойства частиц влияют на свойства системы (врожденные системы, описываемые квантовыми статистиками).

По поведению в коллективе частицы делятся на две большие группы:

1. Фермионы: (S=1/2, 3/2, 5/2, электроны, протоны, нейтроны).

2. Частицы с целым спином: (S=0, 1, 2... (фотоны, фононы, мезоны).

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ-ДИРАКА {к: 114-115}

f_F=1/(e⁽^E^-^m^)/(^kT⁾+1), m ¾ химический потенциал.

В применении к вырожденному газу фермионов m называют уровнем Ферми и находят из условия нормировки.

F_F(E)={1, E<m ; 0, E>m}

Вблизи абсолютного нуля все уровни с E<m полностью заняты, а с E>m ¾ свободны.

Уровню Ферми соответствует max кинетическая энергия E_ферми, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре.

E_F, будучи кинетической энергией поступательного движения электронов, не связана с их тепловым движением, а имеет чисто квантовую природу и возникает из-за специфики электронов и фермионов согласно принципу Паули.

Связь между химическим потенциалом и E_F для случая kT<<m выражается соотношением: m=E_F[1-(p²/12)(kT/E_F)²]

m слабо зависит от температуры. Вплоть до температуры плавления kT<<E_F => m считают совпадающим с E_F(0);

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА {к: 115

Описывает бозоны (S=0,1, 2)

f_Б-Э=1/(e⁽^E^-^m^)/(^kT⁾-1) => <n(E)> ¾ среднее число частиц с энергией E

=> m£0, т.к. при E<m среднее число частиц становится < 0;

Для систем с переменным числом частиц m=0 => f_Б-Э=1/(e^E^/(^kT⁾-1), E=‚w

Из вида f видно, что в системе может находиться неограниченное число одинаковых фотонов => на фотоны и бозоны не распространяется принцип Паули.

P~N ; Вероятность появления бозона в состоянии, где уже есть N бозонов ~ N.

ПОНЯТИЕ О ФОНОНАХ {к: 116-117}

Атомы в узлах кристаллической решётки связаны между собой => их колебания не являются независимыми.

Тепловое возбуждение атомов кристалла может быть представлено как распространение волн упругих деформаций.

На основании корпускуларно-волнового дуализма каждой волне можно сопоставить движение квазичастиц ¾ фононов ¾ квантов энергии поля упругих деформаций.

Фонону можно приписать энергию e=(‚2pn)/(ln)=(‚w)/(ln)=e/J ¾ скорость распространения упругих волн в кристалле. |k|=2p/l ;

Изучение тепловых колебаний атомов в кристаллической решётке можно заменить изучением движения фононов.

При низких температурах фононы можно считать невзаимодействующими и рассматривать как идеальный фононный газ.

Фононы в кристалле находятся в потенциальном ящике => дискретный энергетический спектр. Они заполняют энергетические состояния от 0 до Emax.

w_max=2pc/l_min ; l_min=2d ;

Т.к. число фононов нефиксировано, функция распределения:

f_Б_-_Э=1/(e^E^/(kT)-1)

ВОПРОС-25 {58-59, к: 117-188}: ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЯ

Для определения полной энергии газо-квантовых частиц (фононы и т.д.) необходима функция плотности состояний (число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии).

r(E)=dn(E)/dE ;

Для нахождения r(E) используется представление о фазовом пространстве ¾ многомерном пространстве, где оси координат ¾ координаты частиц и проекций импульсов.

Для системы из N частиц мерность пространства = 6N.

Для одной частицы величина элементарного объёма фазового пространства = dt=d_xd_yd_zdp_xdp_ydp_z ;

Из принципа неопределённости => значение минимального фазового объёма, приходящегося на одно состояние = dt_min=h³ (не ‚³!)

Знание dt_min позволяет определить общее число состояний квантовых частиц во всём объёме пространства (и элементарном объёме).

dn=dt/dt_min;

Чтобы получить r(E) в энергетическом представлении, необходимо выразить dt как функцию энергии: интегрируют dt по всем значениям координат и импульсов, а затем используют соотношение между энергией и импульсом.

t=Vò{0, 2p}ò{0, p}ò{0, p}p²sinQdpdQdj = (4pp³V)/3;

n(p)=(4pp³V)/3h³ ; dn(p)=(4pp²V/h³)dP ;

r(p)=(4pp²V)/h³ ¾ функция плотности, составленная в импульсном виде.

ВОПРОС-27 {59, к: 119}: r(E) ДЛЯ ФОНОНОВ

Чтобы перейти к r(E) в энергетической форме нужно воспользоваться соотношениями E <-> p для фононов.

p=e/J; dp=de/J; dn(e)=[(4pe²V)/(J³h³)]de ;

r(e)=[(4pe²V)/(J³h³)]; × 3 (3 типа волн: 2 поперечных, 1 продольный)

r(e)=[(12pe²V)/(J³h³)];

U=òef(e)r(e)dE {0, E_max}; E_max = ‚w_max = kQ_Д ;

ВОПРОС-26 {60, к: 119-120}: r(E) ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

См. вопросы 25 и 27.

Рассмотрим электрон в пустом ящике с непроницаемыми стенками.

P=sqrt(2mE); dp=[sqrt(2m)/2]E^¾^1/2 ;

n(E)=[(4p2mEsqrt(2m)E^¾^1/2)/(2h³)] dE ;

r(E)=[4pV(2m)^3/2E^1/2/(2h³)]; × 2 (каждое состояние с E может быть заполнено двумя электронами)

r(E)=[(2m)^3/2V/(2p²‚³)]E^1/2 ; Знание r(E) позволяет определить полное число электронов в системе.

N=òf(E)r(E)dE {0, ¥} ¾ условие нормировки

При невысоких температурах основная часть электронов заполняет уровни с E<E_F => верхний предел интегрирования можно заменить на E_F ;

f(E)=1; N=òr(E)dE {0, E_F} = [[(2m)^3/2V]/(3p²‚³)]E^3/2_F ;

E_F = (‚²/2m)(2p²)^2/3(N/V)^2/3 , n ¾ концентрация.

N=6×10²⁸ м^¾³ для металлов à E_F=9 ЭВ

Средняя энергия электрона выражается:

<E>=[òEf(E)r(E)dE {0, ¥}]/[òf(E)r(E)dE {0, ¥}] ={E<E_F}=

=[òEr(E)dE {0, E_F}]/[òr(E)dE {0, E_F}];

ВОПРОС-28 {60-62, к: 120-123}: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ МЕТАЛЛОВ

C_V = C_V^{решётки} + C_V^{электронного газа} ;

C_V=дU/дT = (д/дT)[3N_A×kT + (3/2)N_AkT] = 3R+(3/2)R=(9/2)R ;

ТЕПЛОЁМКОСТЬ ФОНОННОГО ГАЗА {к: 121}

Для нахождения C_V^{решётки} твёрдых тел используют представление о фононном газе. В приближении фононного газа полная энергия фононов, распределённая по энергетическим уровням, аппроксимирует полную энергию кристалла.

C_V^{решёлтки} = С_V^{фононного газа} = дE^Ф/дT; e^Ф=òf(e)r(e)de {0, e_max}

Выражение для E^max можно получить из условия, что полное число фононных состояний в твёрдом теле £3N; e_max à Q_Д , т.к. e_max=kQ_Д ,

T >> Q_Д , e^Ф=eRT

T < Q_Д , e^Ф=AT⁴

ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА {к: 121-123}

При T=0K свободные электроны металла занимают все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми. При повышении температуры электроны подвергаются возбуждению и переходят на более высокие уровни.

KT<<E_F

Тепловому возбуждение подвергаются лишь электроны узкой полосы (~kT), распадающейся у уровня Ферми. Оценим их число. Считаем, что расстояние между уровнями одинаковое.

DE=E_F/(N/2);

В полосе, где E=kT расположено:

kT/DE = kTN/2E_F , kTN/E_F ¾ электронов.

kT/DE ¾ количество уровней, лежащих ниже уровня Ферми в полосе kT.

Каждый из электронов получает энергию kT (при нагреве). Электроны более глубоких уровней свою энергию не меняют.

Увеличение энергии всего электронного газа:

E=kT×(kTN/E_F); C_V=дE/дT=2k²TN/E_F ; C_V=2k×kN_AT/E_F=2RkT/E_F ;

C_V^{классич.}=(3/2)R ; C_V^{квантов.}/C_V^{классич.}=(4RkT)/(3RE_F)»kT/E_F ;

При обычных T: kT=0,01 ЭВ ; E_F»9 ЭВ

C=C^{решётки} + C^{электр.} (пренебрежимо мало) = 3R

ВОПРОС-29 {62-63, к: 123-126}: ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Сравним классическую и квантовую теорию электропроводности. В классической теории электронный газ в кристаллах рассматривается как идеальный газ, подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана.

Расчёт тока, возникающего под действием электрического поля с напряжённостью e производится следующим образом:

F=ee; J_Н=a<t>; a=F/m, <t>=<l>/<J>;

После соударения: <J_Н>=J_Н/2=(ee<l>)/(2m<J>);

Подвижность ¾ средняя скорость направленного движения электронов, приобретаемая ими в поле с напряжённостью e=1 В/м

<РИС>

V=<J_Н>

Через S=1м² перпендикулярную направлению тока за 1с пройдут все электроны, заключённые в параллелепипеде с ребром <J_Н>

Число электронов в параллелепипеде: nV=n<J_Н>

Плотность тока: i=en<J_Н>=enUe;

s=i/e=enU; s=(e²n<l>)/(2m<J>);

<J>=sqrt(8kT/pm); s_{классич}=1/sqrt(T) ¾ так кажется, согласно классической теории.

Но по эксперименту s_{эксперимент.}=1/T

Т.о. расчёт, основанный на представлении электронов в виде идеального газа, подчиняющегося статистике Максвелла-Больцмана ¾ неверен.

Расчёт электропроводности металлов, основанный на квантовой статистике Дирака, был проведён Зиммерфельдом:

s=(e²n<l(E_F)>)/(m<J(E_F)>);

<l(E_F)> ¾ средняя длина свободного пробега

<J(E_F)> ¾ средняя скорость электронов, находящихся на уровне Ферми, которая в отличие от <J_{классической}> остаётся почти const, т.к. уровень Ферми мало зависит от температуры.

Существенное различие между классической и квантовой теориями заключается в рассмотрении <l(E_F)>.

Классическая теория (рассматривающая электроны как свободные частицы) видит причину сопротивления в столкновении электронов с узлами кристаллической решётки и <l_{клаасич}>=d (расстояние между узлами решётки).

Квантовая теория рассматривает электроны как частицы с волновыми свойствами, а их движение ¾ как процесс распространения волны Де Бройля: <l_{квантовая}>=(Ed)/(pnkT);

s~<l>~1/T ¾ что согласуется с экспериментальными данными.

<РИС>

ВОПРОС-30 {64-67, к: 126-131}: СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

Сверхпроводимость ¾ эффект скачкообразного падения сопротивления до нуля при T=T_k (критическая температура).

Сверхпроводимость открыта Киммерлинг-Оннесом в 1911 году, который наблюдал, что при T_k=4,2K электрическое сопротивление ртути скачкообразно падало до нуля.

<РИС>

Сейчас известно ~ 1200 сверхпроводников.

Максимальную T_k=22,3K имеет сплав Na₃Ge (1973 год).

БКШ-ТЕОРИЯ {к: 127-129}

Квантовая теория сверхпроводников создана в 1957 году Бардиным, Купером, Шриффером.

Резкий переход в сверхпроводящее состояние указывает на то, что все электроны проводимости одновременно во всём объёме металла переходят в новое состояние => должна быть корреляция состояний отдельных электронов. Физической причиной такой корреляции может быть взаимодействие электронов, но кулоновские силы приводят к отталкиванию. В данном же случае имеет место притяжение. Качественно механизм сверхпроводимости описывается через электронно-фононное взаимодействие. Это означает следующее: электроны, перемещаясь в решётке, деформируют её своим полем, т.е. смещают ионы из положения равновесия. Обратный переход ионов в исходное состояние сопровождается излучением энергии ¾ рождением фонона. Этот фонон поглощается другими электронами. В результате обмена фононами возникает связанное состояние электронов ¾ куперовская пара. Минимальной энергией такая пара обладает, если импульсы взаимодействующих электронов равны по модули и противоположны по направлению, а спины ¾ антипараллельны.

<РИС>

Пара имеет спин = 0, т.е. она представляет собой бозе-частицу, которая не подчиняется принципу Паули. Они накапливаются в состоянии с минимальным значением энергии ¾ бозе-конденсация.

Куперовские пары, придя в согласованное движение, могут находиться в нём бесконечно долго à сверхпроводимость.

E_max^Ф = ‚w_max = kQ_Д (Q_Д ¾ T Дебая)

Участвовать в образовании куперовских пар могут лишь электроны, которые занимают энергетические уровни в слое kQ_Д ;

При этом, если суммарная энергия двух электронов, находящихся на уровне Ферми, в нормальном состоянии = 2E_F, то в состоянии сверхпроводимости энергия куперовской пары меньше и равна:

E=2E_F-D (D ¾ энергетическая щель)

Куперовские пары при T=0 располагаются на уровне ниже уровня Ферми, который отделён от ближайшего уровня, отвечающего нормальному состоянию, на D.

При T=T_k D=0 => сверхпроводимость исчезает.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВ {к: 129}

Джоулевы потери в линиях электропередач, составляющие 0,1 от всей энергии, могут быть сведены к нулю.

ЭФФЕКТ МЕЙСНЕРА {к: 129-131}

В 1933 году Мейснер установил, что проводник, помещённый в магнитное поле, при переходе в состояние сверхпроводимости выталкивает из себя магнитное поле.

<РИС>

Если кольцо из сверхпроводящего материала при T>T_k поместить в магнитное поле, охладить до T_k , а затем выключить поле, то в кольце возникнет ток, препятствующий уменьшению магнитного поля, но т.к. r=0 (удельное сопротивление) ¾ в кольце возникнет незатухающий ток.

Идеальный диамагнетизм сверхпроводника возникает из-за наведения в поверхностном слое постоянного тока, который направлен противоположно внешнему.

Образец поддерживается в подвешенном состоянии.

Это можно использовать в гироскопах, подвесных опорах.

ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФЕРОНА (1962)

Протекание тока сверхпроводимости через тонкий слой диэлектрика, разделяющего два сверхпроводника.

1. Протекание тока сверхпроводимости через переход при отсутствии напряжения на нём ¾ стационарный эффект Джозеферона.

2. Если I>I_k , на переходе возникает напряжение, а сам он становится источником излучения высокой частоты ¾ нестационарный эффект Джозеферона.

Оба эффекта вызваны тунелирование куперовских пар через слой диэлектрика.

Эффект Джозеферона расширяет возможности сверхпроводниковой электроники. Свойство перехода резко менять величину тока в зависимости от Ф используется в устройстве сверхчувствительный магнитометров ¾ сквидов.

Время срабатывания перехода Джозеферона = 10^¾¹⁰¾10^¾¹¹ с

Нелинейная связь между входными и выходными параметрами может использоваться в логических, запоминающий, детектирующих устройствах.

ЗОННАЯ ТЕОРИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Первой удачной попыткой объяснить электрически и магнитные свойства твёрдых тел явилась теория свободных электронов.

Дальнейший этап ¾ зонная теория твёрдых тел. В ней рассматривается движение электронов в периодическом поле кристаллической решётки.

1. Приближение сильной связи: E_связи >> E_k ;

2. Приближение слабой связи: E_связи << E_k ;

Рассмотрим это подробно.

1. Исследуется, что происходит с энергетическими уровнями при сближении атомов и образовании кристаллов.

Рассмотрим этот процесс на примере атомов Na. Изобразим энергетические схемы в виде потенциальных ям, ограниченных потенциальными кривыми.

<РИС>

Высота барьера различна для электронов, находящихся на разных энергетических уровнях.

Как известно, энергия электронов в атоме определяется двумя квантовыми числами: n, l и не зависит от m и m_S => каждый энергетический уровень будет вырожден: 2(2l+1) ¾ кратность вырождения.

Происходят следующие изменения энергетических уровней:

а) Они смещаются относительно начального положения.

б) Снимается вырождение, т.е. каждый уровень расщепляется на 2(2l+1) подуровней.

в) Расширение энергетических уровней превращает их в энергетические зоны.

Изобразим энергетическую схему двух атомов, сближенных на d (шаг решётки).

<РИС>

Сближение атомов приводит к уменьшению высоты и ширины барьера. Высота оказывается ниже первоначального положения энергетического уровня электронов 3s => электроны могут беспрепятственно двигаться по кристаллу.

Состояние внутренних электронов ¾ неизменно.

Расширение уровней и образование зон ¾ следствие волновых свойств электронов и связано с уменьшением степени их локализации в кристалле по сравнению с отдельными атомами.

В соответствии с принципом неопределённости соотношение DEDt³t, Dt~10^¾⁸ c , Dt ¾ время жизни в возбуждённом состоянии.

DE=‚/Dt = 10^¾⁷ ЭВ ;

В кристалле электроны переходят от атома к другому атому путём туннельного просачивания сквозь потенциальный барьер между атомами.

Туннельный эффект => время жизни электрона у отдельного атома ~ 10^¾¹⁵ с.

DE=‚/Dt = 1 ЭВ ;

Т.о. энергетический уровень шириной 10^¾⁷ ЭВ переходит в зону шириной 1 ЭВ.

Если в кристалл объединяются N атомов и каждый уровень имеет (2l+1)-кратное вырождение, то соответствующая ему энергетическая зона будет состоять из N(2l+1) уровней.

При ширине зоны в 1 ЭВ и N=10²² атомов в 1 см³ расстояние между уровнями = 10^¾²² ЭВ.

Зоны отделены друг от друга зонами с запрещённым значением энергии и ширина определяется единицами ЭВ. Для перехода электрона из нижней зоны в верхнюю они должны обладать энергией, достаточной для преодоления запрещённой зоны, ¾ энергией активации.

<РИС>

2. В рамках приближения слабой связи рассматривается движение квазисвободных электронов в периодическом поле кристалла.

Зонная структура энергетических уровней получается из решения уравнения Шрёдингера, которое для таких электронов имеет вид.

(-‚²/2m)DY+UY=EY, где U ¾ функция:

U(x+a, y, z)=U(x, y, z)

U(x, y+b, z)=U(x, y, z)

U(x, y, z+c)=U(x, y, z)

Решение: Y_n=U_n(r)eⁱ⁽^k^,^r⁾ ¾ функция Блоха (U_n ¾ имеет периодичность потенциала).

Общая задача ¾ отыскание Y_n и собственных значений, ¾ сложна, но многие характерные черты поведения электронов в кристалле можно установить на простейшей линейной модели кристалла, где каждый атом ¾ прямоугольная потенциальная яма с шириной a, отделённые потенциальны барьером с шириной l ;

U_{электрона} = 0 ¾ внутри ямы

<РИС>

Y=U(x)e^ikx (U ¾ имеет период a)

В приближении свободных электронов E=p²/2m=‚²k²/2m

<РИС>

Для электронов, движущихся в периодическом поле линейной цепочки потенциальных ям, функция E(k) претерпевает разрыв в k=np/a, n=±1, ±2 ...

Эти разрывы приводят к образованию запретных зон. Физическая причина этих разрывов ¾ брэгговское отражение электронных волн от атомных плоскостей кристаллов.

Условия Вульфа-Брэгга для нормального падения:

2a=nl à l=2a/n ; k=2p/l=np/a;

<РИС>

Если в цепочке N атомов (L ¾ длина цепочки), то L/a=N ¾ число уровней в разрешённой зоне.

Металл Полупроводник Диэлектрик

<РИС>

ВОПРОС-32 {73-75, к: 139-143}: ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ КРИСТАЛЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА. ПОНЯТИЕ О ДЫРКАХ.

Для изучения поведения электронов в кристалле необходимо знать скорость и ускорение, т.е. необходимо знать хотя бы приблизительно локализацию электрона.

В соответствии с соотношением неопределённости:

DxDp_x»‚, p=‚k, Dp=‚Dk => DxDk » 1

Пусть Dk»0 => Dx»1/Dk

Согласно принципу суперпозиции, волновая функция электрона может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн.

Y_e=Sc_ieⁱ⁽^k^,^r⁾ {i}, волновые числа лежат в Dk

Если Dk невелико, то суперпозиция плоских волн образует волновой пакет, распространяющийся с групповой скоростью:

J_гр=dw/dk

Наиболее вероятное место нахождения электрона совпадает с центром группы волн, т.е. J_гр»J_движ_{. электрона в кристалле}

Учитывая E=‚w => J_гр=(1/‚)×(dE/dK)

Определим работу внешней силы F=(-e)e за dt

За это t электрон пройдёт dx=Jdt

Эта работа идёт на приращение энергии электронов в кристалле.

dA=de=Fdx=F(1/‚)(dE/dk)dt à dk/dt=E/‚

ИТОГО: J_гр=(1/‚)×(dE/dK)

Найдём ускорение: a=dJ/dt=(1/‚)(d²E/dk²)(dk/dt)=(1//‚²)(d²E/dk²)F

m*=h²/[d²E/dk²] ¾ эффективная масса электрона

Из полученной формулы следует, что электрон в периодическом поле кристалла движется так, как двигался бы свободный электрон под действием F, если бы обладал m*.

m* может сильно отличаться от m.

Но именно m* определяет характер движения электронов в кристалле под действием F.

Введение m* позволяет не учитывать взаимодействие электрона с решёткой.

E=‚²k/2m*

Исследуем зависимость m* от положение электрона в разрешённой зоне.

<РИС>

m*~m

Т.е. электрон ведёт себя как нормальная частица с E и m.

В точке перегиба (B) d²E/dk²=0, m* à ¥ и перестаёт быть аналогом массы. Внешнее поле не способно изменить скорость электрона в этой точке.

Вблизи точки (C) ¾ у потолка разрешённой зоны d²E/dk² <0, m*<0

электрон получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе.

В точке (C) a=0;