Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим основные закономерности туннельного эффекта на примере преодоления микрочастицей, движущейся с E, потенциального барьера высотой U0>E.

<РИС>

U(x)={0, -¥<x<0 ; U0, 0£x£l ; 0, l£x<¥}

Классическая частица с E<U0 отразится в точке x0 от барьера и будет двигаться назад.

Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое выглядит по разному в областях (1,3) и 2.

1,3: d2Y/dx2 + (2mE/‚2)Y = 0 ;

2: d2Y/dx2 + (2m/‚2)(E-U0)Y = 0, E-U0 < 0; Y = elx ;

Подстановка в первое уравнение приводит к характеристическим уравнениям: l2 + 2mE/‚2 = 0; l=±sqrt(2mE)/‚=±ik;

Общее решение в (1,3) имеет вид падающей и отражённой волны де Бройля:

Y1=A1e+ikx+B1e ¾ ikx ;

Y3=A3eik(x-l) + B3e ¾ ik(x-l) ; Т.к. нет отражения, то B3=0;

В области (2) корни l2 + [2m(U0-E)]/‚2 = 0 действительны и равны:

l= ± sqrt(2m(U-E0))/‚ = ± ƒ ;

Решение в области (2): Y2=A2eƒx + B2e ¾ ƒx ;

Коэффициенты можно найти из условия непрерывности Y-функции и её производной на границе барьера:

Y1(0)=Y2(0); Y1’(0)=Y2’(0); Y2(l)=Y3(l); Y3’(l)=Y3’(l);

A1 + B1 = A2 + B2 ; A2eƒl + A2e¾ƒl += A3 ;

ikA1 - ikB1 = ƒA2 - ƒB2 ; ƒA2eƒl - ƒA2e¾ƒl = ikA3 ;

Отношение квадратов модулей амплитуд называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ, который описывает вероятность отражения частицы от барьера.

R=|B2|2/|B1|2 ¾ коэффициент отражения; R¹1 даже если E>U0 ;

Д=|A3|2/|A1|2 ¾ КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ (прозрачности) ¾ вероятность, что частица пройдет через барьер: Д¹0, даже если E<U0 ;

Если ввести: n22/k2 = (U0-E)/E ;

Д=[16n2/(n2+1)2]e¾2ƒl » e (¾2/)sqrt(2m(U0-E))l ;

Д зависит от массы частицы, ширины барьера, соотношения высот...

Из неравенства нулю Д при E<U0 => в туннеле Ek < 0;

В квантовой механике не имеет смысла деление E на Ek и Ep , т.к. это противоречило бы принципу неопределённости. Т.о. R+Д=1;

Аналог туннельного эффекта имеет место в классической электромагнитной теории, которая предсказывает, что волна, падающая из более плотной среды в менее плотную, представляет собой тонкий слой между двумя плотными средами, даже при плотном внутреннем отражении проникает в “запрещённую” область и распространяется в виде бегущей волны.

Туннельный эффект ¾ квантовое явления, связанное с волновыми свойствами частиц. Туннельный эффект объясняет ионизацию атомов, холодную эмиссию (вырывание e¾ из металлов под действием электрического поля), a-распад ядер.

ВОПРОС-12 {31-33, к: 68-72}: КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Важная задача ¾ изучение движения частицы в поле центральных сил.

В классической механике такое движение описывается с помощью моментов импульсов, в квантовой механике ¾ с помощью оператора момента импульса.

Особенность оператора ¾ факт, что ^Lx^Ly ¹ ^Ly^Lx , т.е. операторы момента импульса не коммутируют.

Это значит, что соответствующие проекции не могут быть одновременно измерены: если одна проекция определена, то две остальные ¾ нет.

Однако, каждый из этих операторов коммутирует с квадратом момента импульса: ^Lя^L2 ¹ ^L2^Lz ;

Это означает, что момент импульса и одна из его проекций могут одновременно иметь одинаковые значения.

Оператор ^L2 имеет общие собственные функции с оператором каждой из его проекций: ^L2Y=L2Y ; ^LzY=LzY ;

^L2Y=L2Y ; ^LzY=LzY ; (x, y, z) à (r, Q, j);

x=r×sinQ×cosj; y=r×sinQ×cosj; z=r×cosQ ; {0£r<¥, 0£Q£p, 0£j£2p)

L2=‚2l(l+1);

l=0 (s) , 1 (p) , 2 (d) , 3 (f) , 4 (g) , 5 (h) ¾ азимутальное квантовое число

l=0 => S-состояние; L=‚sqrt(l(l+1));

КВАНТОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА

Найдём вид оператора одной из проекций (LZ) в сферической системе координат.

^LzY=LzY ;

(д/дj)=(дx/дj)(д/дx) + (дy/дj)(д/дy) + (дz/дj)(д/дz);

(дx/дj)=-r×sinQ×sinj=-y; (дy/дj)=r×sinQ×cosj=x; (дz/дj)=0;

(д/дj)=-y(д/дx)+x(д/дy);

^PX=-i‚(д/дx); ^PY=-i‚(д/дy); -i‚(д/дj)=x^PY-y^PX=^LZ à ^LZ=-i‚(д/дj)

-i‚(дY/дj)=LZY; Y=ce¾(i/)Lzj ;

Т.к. j ¾ циклическая переменная с T=2p, то из условия однозначности следует: Y(j)=Y(j+2p)

e¾(i/)Lzj = e¾(i/)Lz(j+2p) à e¾(i/)Lz2p =1 ; Lz=m‚ ; m=0, ±1, ±2, ... ¾ магнитное квантовое число. Найдём max(m) из условия:

m‚£‚sqrt(l(l+1)); max(m)=l ; m=0, ±1, ±2, ... ±l и l=0, 1, 2 ... => Lz<L

Направление момента импульса остаётся неопределённым не совпадает с выбранным направлением. ‚ является естественной единицей момента импульса и его проекции. m ¾ магнитное квантовое число.

Ввиду изотропности пространства нет преимущественного направления, пока оно не выделено физически (например ¾ включением параллельно ему магнитного поля).

Всего ¾ (2l +1) значений.

ВОПРОС-13 {33-34, к: 72-75}: МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ

Механический момент импульса неразрывно связан с магнитным моментом, т.к. орбитальное движение создаёт магнитное поле.

L=[r, p]; Pm=Isn; L=rmeJ; Pm=enpr2=[w=2pn; J=wr]=(|e|Jr)/2;

Pm/L=|e|/(2me)=gC ¾ орбитальное гиромагнитное отношение.

Pm=-(eL/2me)=[(e‚)/(2me)]×sqrt(l(l+1)) ;

mБ = e‚/2me=9,27×10-24 Дж/тл ¾ магнетон Бора (естественная единица измерения магнитного момента).

Pmz = -(eLz)/(2me)Lz=-(e‚m)/(2me)=- mБm ;

ОПЫТЫ ШТЕРНА-ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНА {к: 73-75}

L=‚×sqrt(l(l+1)); Lz=‚m; Pm=-mБ×sqrt(l(l+1)); Pmz=-mБm ;

Квантование моментов импульса обнаружено в 1921 году. Идея опыта ¾ определение силы, действующей на атомы в неоднородном магнитном поле.

<РИС>

Fz=Pmz(дb/дz);

<РИС>

Если бы Pm мог иметь произвольную ориентацию, то на пластинке наблюдался бы непрерывный растянутый свет с большей плотностью в центре.

Но наблюдалась система узких полос, смещённых по Oz в соответствии с Pmz=-mБm => проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля квантуется.

У атомов, находящихся в S-состоянии (m=0) (атомы с одним валентным электроном) ¾ вместо одной полоски было две.

Этот факт указывает, что в S-состоянии атом обладает магнитным моментом, проекция которой на направление магнитного поля обладает двумя значениями ±mБ ;

Голдсмит и Уленбек (1925): “Электрон обладает собственным моментом импульса ¾ спином”.

LS=‚×sqrt(S(S+1)); LSz=‚ms; (2s+1)=2 => S=1/2 ;

PSmz=±mБ ; PSmz/LSz=|e|/me=gS ¾ спиновое гиромагнитное отношение;

gs=2ge ;

Элементарный магнетик ¾ сам электрон. Так была установлена спиновая природа ферромагнетизма. Спин не имеет аналога в макромире. Спин ¾ одновременно релятивистское и квантовое свойство.

ВОПРОС-14: СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

СЛОЖЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ И СПИНОВЫХ МОМЕНТОВ

Каждому механическому моменту импульса заряженной частицы соответствуют магнитные моменты, которые взаимодействуют между собой как круговые токи.

Это приводит к взаимодействию соответствующих механических импульсов ¾ спин-орбитальному взаимодействию.

Есть два способа взаимодействия:

1. LS-связь: реализуется, если спин-орбитальное взаимодействие мало (в сильных магнитных полях).

При этом складываются порознь все векторы орбитальных моментов системы и спиновых моментов.

Величины результирующих моментов: L=‚×sqrt(L(L-1)), L ¾ орбитальное квантовое число.

Для системы из двух частиц: L= l1+l2, l1+l2-1, ... , |l1-l2| ¾ ряд значений. L=‚×sqrt(l(l+1)) ¾ орбитальный момент импульса одной частицы. Lz=mz‚; mz=0, ±1, ±2, ..., ±L (всего 2L+1);

Спиновые моменты импульса: Ls=‚×sqrt(S(S+1))

Чётные S: от 0 до N(1/2) , N=6: S=0, 1, 2, 3, ...

Нечётные S: от Ѕ до N(1/2) , N=1/2, 3/2, 5/2, 7/2 ;

Полный момент импульса системы определяется как векторная сумма результирующих орбитальных и спиновых моментов, а его величина = LI=‚×sqrt(J(J+1)), J ¾ квантовое число результирующих моментов импульса.

В следствие различной взаимной ориентации L и Ls I принимает ряд значений.

J=L+S; L+S-1; ... ; |L-S|

L=3; S=1; => J=4, 3, 2;

L=3; S=1/2; => J=7/2, 5/2;

Если оперировать квантовомеханическими векторами как обычными, но с учётом квантования их абсолютных величин и их проекций,

LJZ=mJ; mJ=0, ±1, ±2, ±3 .... всего (2J+1);

то можно построить наглядную векторную модель, согласно которой вектор может иметь направление образующей конуса и вращаться равномерно вокруг направления z;

Проекции L и Ls сохраняются со временем, т.е. являются интегралами движения.

2. j-j-связь: реализуется в слабых магнитных полях , если спин-орбитальное взаимодействие велико. Складываются векторы орбитальных и спиновых моментов в результирующий момент импульса.

Lj=‚×sqrt(j(j+1)); j=l±S=l±1/2;

А затем результирующий момент импульса частиц складывается в результирующий момент импульса системы: Lj=‚×sqrt(J(J+1)); LJ=SLj;

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

Учёт спина приводит к введению новых квантовых чисел J и mj.

Энергетическое состояние частицы определяется: n, l, j ;

Символически оно обозначается nlj, где l=0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g), 5(h)

2P1/2 ¾ главное число n=2, P-состояние=1, j=1/2;

Энергетические состояние системы зависит от взаимной ориентации моментов импульсов отдельных частиц: L, S, J;

Символическое обозначение энергетического состояния системы (“терма”): 2S+1LJ ; 2S+1 = ƒ ¾ мультиплексность терма.

ВОПРОС-15 {37-38, к: 80-83}: ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА

Масштабы времён, расстояний и масс в физических процессах:

Время , сек Размер , м Масса , кг
Возраст Вселенной 1017=1,5×1010 лет Видимая часть Вселенной 1026 Метагалактика 1053
Распад протона > 1032 лет Ядро 10-15 Протон 1,672× 10-27
Время жизни частицы резонанса 10-23 Кварк 10-18 Нейтрино 10-35=?
Планковское время, tп=sqrt(G‚/c5) ~10-44 Планковская длина, lп=sqrt(G‚/c3) ~10-35 Масса Планка, mп=sqrt(c‚/G) 2,8×10-8

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Вид взаимод Интенсивность Радиус, m Время, с
Гравитацион. 10-32 ¥ ¥
Электромагн. 10-2 ¥ 10-16
Слабое 10-15 10-18 10-10¾10-8
Сильное 10-15 10-23¾10-22

Слабое взаимодействие проявляется:

1. Взрыв сверхновых

2. 2. Радиоактивность (самопроизвольное превращение атомов ядер с использованием элементарных частиц).

dN=-lNdt, N=N0e¾lt ; N ¾ количество нераспавшихся ядер

t==1/l; T1/2=ln2/l ¾ период полураспада

A=2N ¾ активность (число распадов в единицу времени).

T1/2 (плутония-299)= 24390 лет.

n (нейтрино) à p (ротон) + e¾ (электрон) + ne~ (антинейтрино)

Сильное взаимодействие проявляется:

1. Притяжение нуклонов в ядре: Eсвязи=c2Dm; Dm=[Zmp+(A-Z)mn]-mя

2. X+a=Y+b ¾ ядерный распад ¾ процесс сильного взаимодействия, приводящий к преобразованию ядер: a, b à p, n, a ...

Q=c2(Sm - Sm’);

ТЕРМОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ {к: 83}

21H + 31H = 42He + 10n (Q=17,6 Мэв)

ВОПРОС-16 {38-40, к: 83-86}: КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. m: me, (mn=10-35 кг), mz=200000me ; E=mc2 ; p+p à p+p+p+p

2. q:

3. t ¾ время жизни

4. Спин:

а) S=1/2 + n, n=0, 1, 2 ... ¾ фермионы

б) S=n, n=0, 1, 2, 3 ... ¾ бозоны

Все элементарные частицы (>300) делятся на 2 группы по участию/неучастию в сильном взаимодействии:

Неучаствующие частицы ¾ лептоны:

Название, обозначен. Масса Заряд Спин Год открытия
Электрон, e¾ -1 1/2
Электрон-ное ней-трино, n 10-4 = ? 1/2
Глюон, m¾ -1 1/2
Глюонное нейтрино, nm 1/2
t-лептон (таон) -1 1/2
Таонное нейтрино, nt 1/2

Каждая частица имеет античастицу (отличен знак какой-либо характеристики: электрон¾позитрон).

Частицы, участвующие в сильном взаимодействии ¾ адроны:

3 кварка: барионы (тяжёлые)

2 кварка: мезоны

Все адроны состоят из 6 частиц:

Назва-ние (аромат) Масса Заряд Спин Цвет Год откры-тия
u (up) 5 МЭВ +2/3 1/2 красный
d (down) 7 МЭВ -1/3 1/2 ¾зелён-
s (strange) 150 МЭВ -1/3 1/2 ый жёлтый
c (char-med) 1,3 ГЭВ +2/3 1/2 ¾ фиолет;
b (beau-ty) 5 ГЭВ -1/3 1/2 синий¾ оранжев
t (true) > 20 ГЭВ +2/3 1/2  

Из e, n, u, d построены все стабильные частицы:

Из... построены:

а) стабильные частицы: e, n, u, d

б) Нестабильные частицы: m, nm, s, c ; t, 1/t, b, t

ЧАСТИЦЫ ¾ ПЕРЕНОСЧИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ {к: 86}

Взаимод Частицы Масса, me Заряд Спин Год откр
Гравит Гравитон ?
Электром Фотон
Слабое W± Z0-бозон   ±1
Сильное 8 глюонов

ВОПРОС-17 {41, к: 86}: ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Название Э/м Слабое Сильное Гравитац
Частицы Лептоны Лептоны, кварки Кварки Лептоны, кварки
Заряд взаимо-действия Электрич заряды Аромат Цвет Масса
Теория взаимо-действия Квантовая электродинамика, Фейнман, 1952 E>100 ГЭВ Фотоны и W±, Z0 неразличимы E>1014 ГЭВ лептоны и кварки неразличимы E>1019 ГЭВ, фермионы и бозоны неразличи
  Теория слабого электро взаимод.(1987) Теория великого объединения, 1973 мы => “супер-сила”
       
         

Наши рекомендации