Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в формализме Лагранжа
Пусть частица с зарядом e находится в электромагнитном иоле, заданном скалярным φ(r, t) и векторным A(r,t) потенциалами. Электрическое и магнитное поля Е и B связаны с потенциалами соотношениями
Где c- скорость света. Нетрудно показать, что уравнение Лагранжа
совпадают с известными уравнениями движения
если выбрать функцию Лагранжа в виде
В функции Лагранжа слагаемые 1/2mv2 и еср — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а последнее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщённый импульс
Известно, что поля Е и B, а следовательно, и уравнения движения частиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при замене
где f — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что потенциалам φ', A' и φ, A соответствуют лагранжианы L и L', отличающиеся на полную производную по времени от функции ef/c:
и эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.
Движение заряженной частицы в электромагнитном поле в формализме Гамильтона
Для нерелятивистской частицы в электромагнитном поле
В релятивистском случае
Фотон (квант света) — это релятивистская частица с массой m = 0 и зарядом e = 0. Согласно предыдущему примеру, его функция Гамильтона для движения в вакууме равна H(p, r) = c|p| .
Распространение света в прозрачной изотропной среде с показателем преломления n(r) в приближении геометрической оптики определяется функцией Гамильтона
Уравнения Гамильтона имеют вид
Фактически в геометрической оптике „частицей" является волновой пакет, r(t) есть закон именно его движения, r — это групповая скорость, а вектор р, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор электромагнитной волны
Определение кин энергии вращающегося твердого тела
𝜔 – угловая скорость, - расстояние до точки, кот в данный момент вращается
Момент импульса вращения твердого тела.
момент импульса тела совпадает по направлению с угловой скоростью тела и определяется формулой
где I - момент инерции тела относительно данной главной оси инерции. Причем не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют - при условии, что ось вращения неподвижна.
Найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно оси 00'
где и - масса и расстояние от оси вращения частицы твердого тела , - его угловая скорость. Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим
где I - так называемый момент инерции твердого тела относительно оси00':
Определение полной производной по времени от векторной физической величины с учётом вращения твёрдого тела.
, -относительная (локальная) производная. Производная вектора А связана с переносным вращательным движением.