Движение заряженной частицы в магнитном поле

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru Если частица с электрическим зарядом q и массой m влетает со скоростью Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru в магнитное поле с индукцией Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru , то на нее начинает действовать сила Лоренца

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru , (7.1)

которая перпендикулярна скорости частицы Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru и индукции Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . Это приводит к искривлению траектории без изменения скорости частицы (так как сила Лоренца не совершает работу).

Рассмотрим ситуацию, когда частица влетает в магнитное поле перпендикулярно индукции Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . В этом случае она будет двигаться по окружности с постоянной скоростью, а сила Лоренца будет являться центростремительной силой (см. рис.11).

Найдем радиус окружности, используя второй закон Ньютона:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru (7.2)

Используя формулу (7.2), можно рассчитать период вращения частицы по окружности:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru (7.3)

Задача 10

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл по окружности летает положительно заряженная частица с зарядом q = 1 мкКл и массой m = 10–10кг со скоростью v = 10 км/с. Индукция магнитного поля Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru направлена вдоль оси z. В начальный момент времени скорость частицы Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru была направлена вдоль оси у. Найти минимальное время t, через которое скорость частицы будет направлена а) вдоль оси х; б) против оси х. Найти пройденный путь за это время.

Решение:

Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, действующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси х, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.12. Из этого рисунка следует, что через четверть оборота или через время Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru скорость частицы окажется направленной параллельно оси х, а через три четверти периода ( Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru ) – антипараллельно оси х. Используя формулу для радиуса окружности (7.2) и периода (7.3), получаем ответ:

а) Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru с;

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru м.

б) Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru с

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru м.

Ответы: а) t = 0,157 мс; S = 1,57 м; б) t = 0,236 мс; S = 4,71 м.

Задача 11

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл по окружности летает отрицательно заряженная частица с зарядом q = – 1 мкКл и массой m = 10–10кг со скоростью v = 20 км/с. Индукция магнитного поля Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru направлена вдоль оси х. В начальный момент времени скорость частицы Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru была направлена вдоль оси у. Найти минимальное время t, через которое скорость частицы будет направлена а) вдоль оси z; б) против оси z. Найти пройденный путь за это время.

Решение:

Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, действующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси z, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.13 Из этого рисунка следует, что через четверть оборота или через время Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru скорость частицы окажется направленной параллельно оси z, а через три четверти периода ( Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru ) – антипараллельно оси z. Используя формулу для периода (7.3), получаем ответ:

а) Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru с;

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru м.

б) Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru с

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru м.

Ответы: а) t = 0,157 мс; S = 3,14 м; б) t = 0,236 мс; S = 9,42 м.

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru

Плоский конденсатор

Разность потенциалов на обкладках плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d и напряженность электрического поля Е:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (8.1)

Энергия электрического поля в плоском конденсаторе, где С – емкость конденсатора, q – заряд на конденсаторе, U – напряжение на конденсаторе, Е – напряженность электрического поля:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru (8.2)

Напряженность однородного электрического поля внутри плоского конденсатора. Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru – поверхностная плотность заряда на обкладках плоского конденсатора:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (8.3)

Уравнения Максвелла

Переменное магнитное поле с индукцией Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru порождает в пространстве вихревое электрическое поле с напряженностью Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru :

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (9.1)

Вихревое магнитное поле с напряженностью Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru порождается в пространстве токами проводимости с плотностью Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru и переменным электрическим полем с индукцией Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru :

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (9.2)

Материальное уравнение связывает вектор Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru и Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru в изотропном диэлектрике:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru , (9.3)

где e – диэлектрическая проницаемость среды ( Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru для воздуха),

e0 = Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru Ф/м– электрическая постоянная.

Задача 12

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru Между обкладками плоского воздушного конденстатора создано однородное электрическое поле, напряженность которого меняется со временем по закону Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . Найти модуль ротора напряженности магнитного поля (или плотность тока смещения) внутри конденсатора в момент времени t = 1 с, если Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 1 кВ/м; Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 1 с.

Решение:

Между обкладками конденсатора нет токов проводимости, т.е. Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . Так как конденсатор воздушный, то диэлектрическая проницаемость среды e = 1, следовательно из формулы (9.3) Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . По формуле (9.2) найдем модуль ротора Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru в момент времени t = 1 c:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru

Ответ: 55,6 нА/м2

Задача 13

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru Между полюсами магнита создано однродное магнитное поле, индукция которого зависит от времени по закону Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . Найти модуль ротора напряженности электрического поля между полюсами в момент времени t = 1 с, если Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 1 Тл; Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 1 с.

Решение:

По формуле (9.1) найдем модуль ротора Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru :

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru Тл/с

Ответ: 4,71 Тл/с

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 10. Электрические колебания

Уравнение затухающих колебаний в контуре, состоящем из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R, конденсатора с емкостью С и катушки с индуктивностью L, выглядит так:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru , (10.1)

где b – коэффициент затухания:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru ; (10.2)

w –– циклическая частота собственных затухающих колебаний.

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru ; (10.3)

w0 – циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru (10.4)

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru – начальная фаза колебаний, Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru – начальная амплитуда.

Амплитуда колебаний в контуре уменьшается со временем по закону:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (10.5)

q – логарифмический декремент затухания:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (10.6)

t –– время релаксации (время, за которое амплитуда уменьшится в е = 2,72 раз)

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (10.7)

Задача 14

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru В контуре совершаются свободные слабозатухающие колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . Оцените время, через которое энергия контура уменьшится в 2раза. Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 1 мкКл; Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 0,05 с–1; Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru 10 c–1. Каким станет коэффициент затухания, если:

а) сопротивление R в контуре увеличить в 2 раза?

б) индуктивность L в контуре увеличить в 2 раза?

в) емкость С в контуре увеличить в 2 раза?

Решение:

Энергия контура W пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, поэтому, используя формулу (10.5) и учитывая, что b = а = 0,05 с–1, получим:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru (10.8)

Найдем отношение энергий контура в начальный момент времени и в момент времени t:

Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru . (10.9)

Из формулы (10.9) видно, что Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru с

из формулы (10.2) следует, что

а) если сопротивление в контуре увеличить в два раза, то коэффициент затухания увеличится также в два раза: Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru = 0,1 с–1;

б) при изменении индуктивности в два раза, коэффициент затухания уменьшится в два раза: Движение заряженной частицы в магнитном поле - student2.ru = 0,025 с–1;

в) при изменении емкости в два раза коэффициент затухания не изменится, так как он не зависит от емкости С (см. формулу (10.2)).

Ответы:t = 6,93 c; а) b = 0,1 с–1; б) b = 0,025 с–1; в) b = 0,05 с–1.

Наши рекомендации