Движение частицы в центральном поле

12.1. Сохранение момента импульса в центральном поле.

Выше мы ввели в рассмотрение центральные силы. Напомним, что сила называется центральной, если для всех точек поля она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил, или силовым центром.

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.1)

Уже из определения следует, что центральные силы консервативны.

В поле консервативных сил можно ввести потенциальную энергию:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru (12.2)

При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.3)

Тогда из уравнения моментов (11.5) получаем, что момент импульса есть постоянная величина.

При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется, несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.4)

Поскольку Движение частицы в центральном поле - student2.ru , т.е. величина и направление вектора

Движение частицы в центральном поле - student2.ru сохраняются, а вектор момента импульса всегда

перпендикулярен к векторам Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то движение частицы

происходит в плоскости, перпендикулярной к Движение частицы в центральном поле - student2.ru . Отсюда следует,

что частица в поле центральных сил движется по плоской орбите.

Если ось Движение частицы в центральном поле - student2.ru направлена по вектору Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то Движение частицы в центральном поле - student2.ru , а траектория частицы лежит в плоскости, перпендикулярной оси Движение частицы в центральном поле - student2.ru . Выше мы получили, что Движение частицы в центральном поле - student2.ru , где Движение частицы в центральном поле - student2.ru проекция радиус-вектора Движение частицы в центральном поле - student2.ru на плоскость, в которой лежит траектория частицы. В рассматриваемом случае, начало координат и вектор Движение частицы в центральном поле - student2.ru лежит в плоскости орбиты, поэтому

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.5)

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru

Геометрическая интерпретация.

Пусть частица движется в поле центральных сил по плоской траектории, представляющей собой замкнутую кривую.

Выбрав за начало отсчета точку Движение частицы в центральном поле - student2.ru , найдем площадь сектора Движение частицы в центральном поле - student2.ru , показанного на рисунке.

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Здесь Движение частицы в центральном поле - student2.ru - угол между Движение частицы в центральном поле - student2.ru (длина радиус-вектора, проведенного к точке Движение частицы в центральном поле - student2.ru ) и Движение частицы в центральном поле - student2.ru . Будем сжимать отрезок Движение частицы в центральном поле - student2.ru к точке Движение частицы в центральном поле - student2.ru . В пределе Движение частицы в центральном поле - student2.ru – касательная к траектории частицы в точке Движение частицы в центральном поле - student2.ru , т.е. Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Тогда можем записать

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.6)

Вводя понятие секториальной скорости как площади, описываемой радиусом-вектором Движение частицы в центральном поле - student2.ru в единицу времени, получаем

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.7)

Обратим внимание, что вектор секториальной скорости и вектор Движение частицы в центральном поле - student2.ru напрвлены вдоль вектора Движение частицы в центральном поле - student2.ru и перпендикулярны плоскости орбиты.

Если применить выражение (12.7) к описанию движения планет, то мы получим математическое выражение 2-го закона Кеплера, устанавливающего постоянство секториальной скорости планеты Движение частицы в центральном поле - student2.ru при движении в центральном поле:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.8)

Этому закону подчиняется, например, движение планет по эллиптическим орбитам.

Итак, свойства движения частицы в центральном поле:

1) движение плоское, плоскость проходит через точку Движение частицы в центральном поле - student2.ru , определенный относительно которой момент импульса частицы сохраняется.

2) секториальная скорость постоянна (II закон Кеплера).

Примечания:

Площадь Движение частицы в центральном поле - student2.ru элементарного сектора, описываемая радиус-вектором Движение частицы в центральном поле - student2.ru при повороте на Движение частицы в центральном поле - student2.ru за время Движение частицы в центральном поле - student2.ru :

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Закон сохранения момента импульса частицы, движущейся в центральном поле иногда называют “интегралом площадей”.

12.2. Закон сохранения энергии в центральном поле.

Центральные силы консервативны, следовательно, полная энергия частицы в системе «силовой центр – частица» (замкнутая система) сохраняется.

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.9)

Поскольку задача плоская, удобно воспользоваться полярными координатами и представить импульс частицы в виде суммы радиальной и азимутальной составляющих:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru
Движение частицы в центральном поле - student2.ru

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

В полярных координатах выражения для момента импульса Движение частицы в центральном поле - student2.ru и полной энергии Движение частицы в центральном поле - student2.ru частицы приобретают вид:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru ; (12.10)

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.11)

В выражении (12.10) Движение частицы в центральном поле - student2.ru , т.к. Движение частицы в центральном поле - student2.ru , и

Движение частицы в центральном поле - student2.ru , (12.10а)

т.к. траектория частицы плоская и Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Если, воспользовавшись (12.10), исключить из уравнения (12.11) азимутальную составляющую импульса частицы Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то полную механическую энергию частицы можно записать как

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.12)

Примечание. Величину Движение частицы в центральном поле - student2.ru называют центробежной энергией.

Уравнение (12.12) содержит только одну неизвестную – радиальную компоненту импульса Движение частицы в центральном поле - student2.ru . Поэтому оно может формально рассматриваться как уравнение для энергии одномерного – радиального – движения частицы. В этом случае роль потенциальной энергии играет функция

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.13)

Т.о., можно сказать, что задача о движении частицы в центральном поле сводится к нахождению условий финитности (инфинитности) одномерного движения частицы в радиальном направлении в поле, описываемом эффективной потенциальной функцией Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

12.3. О траектории движения частицы.

Найдем уравнение траектории частицы, движущейся в поле центральных сил.

Представим компоненты импульса, записанного в полярных координатах, следующим образом:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru (12.14)

Далее, т.к. угол между вектором угловой скорости Движение частицы в центральном поле - student2.ru и радиус-вектором Движение частицы в центральном поле - student2.ru равен Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Тогда из (12.10а, 12.12 и 12.14) для энергии и момента импульса частицы, движущейся в центральном поле, получаем

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.15)

Из первого уравнения (12.15) получаем

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Разделяя переменные, находим в неявном виде зависимость Движение частицы в центральном поле - student2.ru :

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.16)

Из второго уравнения (12.15) имеем

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Исключив из уравнений (12.15) время Движение частицы в центральном поле - student2.ru , находим уравнение траектории частицы в центральном поле в полярных координатах (связь между Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru ):

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.17)

Интегралы (12.16) и (12.17), вообще говоря, могут быть вычислены, если известен явный вид функции Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

12.4. Границы движения.

Из первого уравнения (12.15) следует, что значения Движение частицы в центральном поле - student2.ru , при которых энергия частицы равна

Движение частицы в центральном поле - student2.ru , (12.18)

определяют границы области движения по расстоянию от центра поля, поскольку при выполнении равенства (12.18) радиальная скорость Движение частицы в центральном поле - student2.ru обращается в нуль. Однако равенство нулю ( Движение частицы в центральном поле - student2.ru ) радиальной составляющей скорости не означает, что частица остановилась, т.к. азимутальная (угловая) компонента скорости отлична от нуля ( Движение частицы в центральном поле - student2.ru ). Это утверждение вытекает из требования Движение частицы в центральном поле - student2.ru для поля центральных сил.

Равенство Движение частицы в центральном поле - student2.ru определяет “точку поворота” траектории, в которой функция Движение частицы в центральном поле - student2.ru достигает либо максимального, либо минимального значения, после чего начинает соответственно убывать или возрастать.

Если область допустимого изменения Движение частицы в центральном поле - student2.ru ограничена лишь условием Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то движение частицы инфинитно – её траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.

Если область изменения Движение частицы в центральном поле - student2.ru имеет две границы Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru , то движение является финитным и траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru , определяющими границы движения. Однако траектория при этом может оставаться незамкнутой.

За время прохождения одной петли (от Движение частицы в центральном поле - student2.ru до Движение частицы в центральном поле - student2.ru и снова до Движение частицы в центральном поле - student2.ru ) радиус-вектор частицы совершит поворот на угол

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (12.19)

Условие замкнутости траектории: траектория будет замкнутой, если Движение частицы в центральном поле - student2.ru , где Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru - целые

Движение частицы в центральном поле - student2.ru числа, т.е. за одну петлю радиус-вектор должен повернуться

на угол, равный рациональной части от Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Тогда через Движение частицы в центральном поле - student2.ru повторений этого периода времени радиус-

вектор точки, сделав Движение частицы в центральном поле - student2.ru полных оборотов, совпадет со своим

первоначальным значением, т.е. траектория замкнется.

Однако такой исход является скорее исключением,

нежели правилом. Существуют лишь два типа центральных

полей, в которых все траектории финитных движений

замкнуты. Это поля, где зависимость потенциальной энергии

от расстояния от центра поля имеет вид:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

13 .Задача Кеплера.

Задача Кеплера (Кеплерова задача) - задача о движении частицы в поле центральных сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между точечными массами (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулоновские силы, действующие между точечными электрическими зарядами. Поэтому такие поля являются важнейшим случаем центральных полей.

В таком поле потенциальная энергия частицы определяется выражением

Движение частицы в центральном поле - student2.ru , (13.1)

где Движение частицы в центральном поле - student2.ru постоянная величина, Движение частицы в центральном поле - student2.ru расстояние от центра поля.

Рассмотрим случай, когда Движение частицы в центральном поле - student2.ru , т.е. сила, действующая на частицу, направлена к центру поля и

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
является силой притяжения. Зависимость эффективной

потенциальной энергии

Движение частицы в центральном поле - student2.ru (13.2)

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
от расстояния от центра поля показана на рисунке.

Движение частицы в центральном поле - student2.ru
При Движение частицы в центральном поле - student2.ru Движение частицы в центральном поле - student2.ru стремится к Движение частицы в центральном поле - student2.ru , а при Движение частицы в центральном поле - student2.ru

она стремится к нулю со стороны отрицательных

значений; при Движение частицы в центральном поле - student2.ru функция имеет минимум,

равный

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (13.3)

Из рисунка видно, что движение частицы будет инфинитным при Движение частицы в центральном поле - student2.ru , и финитным при Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Форму траектории получаем интегрированием формулы (12.17) после подстановки Движение частицы в центральном поле - student2.ru :

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (13.4)

Выбирая начало отсчета угла Движение частицы в центральном поле - student2.ru так, чтобы постоянная интегрирования обращалась в нуль ( Движение частицы в центральном поле - student2.ru ), и введя обозначения

Движение частицы в центральном поле - student2.ru , Движение частицы в центральном поле - student2.ru , (13.5)

получим уравнение траектории в виде:

Движение частицы в центральном поле - student2.ru . (13.6)

Приложение. Выражение (13.6) – уравнение в полярных координатах конического сечения с фокусом в начале

координат Движение частицы в центральном поле - student2.ru ; Движение частицы в центральном поле - student2.ru и Движение частицы в центральном поле - student2.ru так называемые параметр и эксцентриситет

орбиты, соответственно.

Коническими сечениями называют эллипс, параболу и гиперболу, т.к. их

можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении с

плоскостью Движение частицы в центральном поле - student2.ru , не проходящей через вершину конуса. При этом

поверхность конуса предполагается неограниченно продолженной в обе

стороны от вершины.

Если плоскость Движение частицы в центральном поле - student2.ru не параллельна ни одной образующей конуса, то

коническое сечение есть эллипс. Эллипсом называется геометрическое

место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек,

называемых его фокусами, есть величина постоянная. Отношение фокусного расстояния эллипса к длине его большой оси называется эксцентриситетом эллипса Движение частицы в центральном поле - student2.ru .

Если плоскость Движение частицы в центральном поле - student2.ru параллельна только одной из образующих конуса

Движение частицы в центральном поле - student2.ru ( Движение частицы в центральном поле - student2.ru ), то коническое сечение есть парабола. Параболой называют

геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки,

Наши рекомендации