Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

Цель работы:ознакомление с методом Стокса и определение коэффициента вязкости различных жидкостей.

Теоретическое введение

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.16.1) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v₁ и v₂ соответственно, Δv=v₂–v₁. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

, (16.1)

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м² площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па^.с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента кинематическойвязкости :

. (16.2)

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (16.1), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (16.1)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

, (16.3)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3)^.10^-20 Дж, поэтому, согласно формуле (16.3), при нагревании жидкости на 10⁰С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.16.2) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняетвязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу.В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (16.1). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:

. (16.4)

Из (16.1) и (16.4) получим:

. (16.5)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: . Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарикав вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса:

, (16.6)

где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.

Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, микрометр, линейка, штангенциркуль, секундомер, шарики.

Методика измерений

Этот метод основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.

Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.16.3):

1. сила вязкого трения F_С по закону Стокса (16.6), направленная вверх, навстречу скорости: ;

2. сила тяжести, направленная вниз:

, (16.7)

где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:

; (16.8)

3. выталкивающая сила F_Арх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:

, (16.9)

где – плотность жидкости.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:

ma=F_тяж–F_Арх–F_С. (16.10)

Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l₀ (рис.16.3) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка можно оценить из уравнения движения.

По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства

F_С = F_тяж – F_Арх (16.11)

сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью. По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η.

После подстановки в (16.11) выражений (16.6-16.9) получим:

.

Сократим на радиус и сделаем замену ( – диаметр шарика):

;

. (16.12)

Из (16.12) выразим коэффициент динамической вязкости:

. (16.13)

Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :

. (16.14)

Выведенная формула (16.14) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (16.6), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.

Описание установки

Установка состоит из высокого цилиндрического прозрачного сосуда 1 (рис.16.3), по высоте которого на стенке нанесены на определенном расстоянии друг от друга метки 2. В сосуд налита исследуемая жидкость 3 с известной плотностью (машинное масло или растительное масло). Для определения ее вязкости в верхней части сосуда вблизи центра в жидкость опускают маленькие стальные шарики 4, плотность которых больше плотности жидкости.

Порядок выполнения работы

1. Штангенциркулем измерьте диаметр d шарика.

2. Измерьте линейкой расстояние между метками.

3. Пинцетом или смоченной палочкой опустите шарик по центру сосуда.

4. Определите при помощи секундомера время прохождения шарика между метками.

5. Повторите измерения диаметра и времени еще для четырех шариков.

6. Рассчитайте коэффициент вязкости по формуле (16.14) в каждом опыте. Плотности жидкости и шарика возьмите в приложении.

7. Найдите среднее значение коэффициента вязкости.

8. Рассчитайте погрешность .

9. Сделайте выводы.

Замечание. Погрешность коэффициента вязкости можно рассчитать двумя способами.

а) По стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (16.15)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов и доверительной вероятности α=0.95 равен: t_{n, α}=2.78; Δη_i=|η_ср.– η_i|.

б) Исходя из формулы (16.14) по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях относительная погрешность равна:

. (16.16)

Расчет по (16.16) производится для одного какого-либо опыта, при этом в качестве , и можно взять приборные погрешности.

Таблица 16.1

№	, м	, м	, c	, c	, м	, м	,	,
Средние	–	–

Контрольные вопросы

1. Запишите формулу Ньютона для коэффициента динамической вязкости. Сделайте поясняющий рисунок.

2. Что называется коэффициентом динамической вязкости? Поясните его физический смысл и выведите его размерность.

3. Объясните механизм внутреннего трения для газов и жидкостей. Как зависит от температуры вязкость газов и жидкостей? Почему?

4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Сделайте рисунок, запишите второй закон Ньютона для шарика, падающего в вязкой жидкости.

5. Почему, начиная с некоторого момента, шарик движется равномерно?

6. Как зависит скорость падения шарика от его диаметра?

7. Выведите приближенную расчетную формулу (16.14) для коэффициента вязкости.

Используемая литература

[5] §9.4; [3] §10.7, 10.8; [1] §75, 76, 78, 130; [6] §5.6, 5.7; [7] §31, 33, 48; [10] §16.1; [11] §28.

Лабораторная работа 1-17

Определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом

Цель работы: изучение внутреннего трения (вязкости) в газах и определение коэффициента вязкости воздуха.

Теоретическое введение

Газы отличаются от упругих тел тем, что они оказывают сопротивление изменению объема (но не формы). Они всегда оказывают давление, стремясь расшириться и занять любой предоставленный объем.

Если газ не находится в состоянии покоя, т.е. равновесие отсутствует, то говорят, что имеется поток газа, и состояние движущегося газа полностью определено, если известна скорость потока в каждой точке пространства в каждый момент времени. Газ рассматриваем как сплошную среду. Для неустановившегося движения газа следует различать два способа описания: вводятся траектории, т.е. пути описываемые частицами газа с течением времени, и линии тока, которые получаются следующим образом. Представим себе, что в определенный момент в каждой точке потока в виде маленьких стрелок нарисованы векторы скорости частиц. Эти стрелки можно соединить кривыми, касательные к которым в каждой точке направлены вдоль стрелок. В неустановившемся потоке картина линий тока меняется со временем, и траектории частиц газа и линии тока не совпадают. В часто встречающихся на практике задачах рассматривается установившееся движение газа (стационарный поток), когда вектор скорости в каждой точке не меняется со временем, а линии тока совпадают с траекториями частиц. Примером стационарного потока является ламинарное течение. Ламинарным называется поток, в котом газ течет как бы параллельными слоями, скользящими друг относительно друга с различной скоростью. В простейшем случае все слои движутся в одинаковом направлении, например, вдоль оси . Из-за взаимодействия между слоями (это взаимодействие называется еще внутренним трением) более быстротекущий слой оказывает воздействие на прилегающий к нему слой, пытаясь увлечь его за собой. И наоборот, более медленно текущий слой тормозит более быстрый. Уже Ньютон указал правильный вид этой тормозящей силы: она должна быть пропорциональна площади соприкасающихся слоев и спаду скорости в перпендикулярном к потоку направлении. Следовательно, если скорость уменьшается в направлении оси (рис. 17.1), то на каждый слой действует прилегающий к нему слой с касательной силой, равной по величине

(17.1)

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при медленном протекании газа в цилиндрической трубе (капилляре) – в этом случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую ось, совпадающую с осью трубы.

Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объем газа радиусом и длиной , как показано на рисунке 17.2. Обозначим давления на его торцах и . При установившемся течении суммарная сила давления на цилиндр

уравновесится силой внутреннего трения , которая действует на боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:

. (17.2)

Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (17.1). Учитывая, что (площадь поверхности цилиндра) и скорость уменьшается при удалении от оси трубы, т.е. , можно записать:

(17.3)

В этом случае условие стационарности (17.2) запишется в виде:

(17.4)

Интегрируя это равенство, получим

,

где – постоянная интегрирования, которая определяется граничными условиями задачи. При скорость газа должна обратиться в нуль , поскольку сила внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой газа. Тогда

(17.5)

Подсчитаем объемный расход газа , т.е. объем, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним за время протекает объем газа, равный произведению площади этой кольцевой площадки на перемещение частиц газа за это время :

;

Тогда

;

,

или

(17.6)

Формулу (17.6), которая называется формулой Пуазейля, можно использовать для экспериментального определения коэффициента вязкости газа.

Формула Пуазейля была получена в предположении ламинарного течения газа или жидкости. Однако с увеличением скорости потока движение становится турбулентным и слои смешиваются. При турбулентном движении скорость в каждой точке меняет свое значение и направление, сохраняется только среднее значение скорости. Характер движения жидкости или газа в трубе определяется числом Рейнольдса:

, (17.7)

где – средняя скорость потока; – плотность жидкости или газа.

В гладких цилиндрических каналах переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при . Поэтому в случае использования формулы Пуазейля необходимо обеспечить выполнение условия . Кроме этого, эксперимент необходимо проводить таким образом, чтобы сжимаемостью газа можно было пренебречь. Это возможно тогда, когда перепад давлений вдоль капилляра значительно меньше самого давления. В данной установке давление газа несколько больше атмосферного ( см водяного столба), а перепад давлений составляет от ~ 10 см вод.ст., т.е. приблизительно 1% от атмосферного.

Формула (17.6) справедлива для участка трубы, в котором установилось постоянное течение с квадратичным законом распределения скоростей (17.5) по сечению трубы. Такое течение устанавливается на некотором расстоянии от входа в капилляр, поэтому для достижения достаточной точности эксперимента необходимо выполнение условия , где – радиус, – длина капилляра.

Экспериментальная часть

Для определения коэффициента вязкости воздуха предназначена экспериментальная установка ФПГ 1-1, состоящая из двух основных блоков: 1 – блок рабочего элемента, 2 – блок приборов (рис. 17.3).

Воздух в капилляр 3 нагнетается микрокомпрессором, размещенным в блоке приборов 2. Радиус капилляра , и длина – . Объемный расход воздуха измеряется реометром 4, а нужное его значение устанавливается регулятором "Воздух", который находится на передней панели блока приборов. Для измерения разности давлений воздуха на концах капилляра предназначен U-образный водяной манометр 5. Разность давлений определяется по разности уровней воды в коленах манометра:

,

где – плотность воды. Из (17.6) получим расчётную формулу для динамической вязкости:

. (17.8)

Порядок выполнения работы

1. Включите установку тумблером "Сеть".

2. С помощью регулятора "Воздух" установите по показаниям реометра выбранное значение объемного расхода воздуха .

3. Измерьте разность уровней воды в коленах манометра. Значения и занесите в табл.17.1.

Таблица 17.1

№	, 10-5 м3/с	, м	, Па	, кг/(м×с)	, кг/(м×с)	, кг/(м×с)	, кг/(м×с)
	0.2
	0.47
	0.82
	1.13
	1.42

4. Повторите измерения ещё для 4 значений объемного расхода воздуха.

5. Установите регулятор расхода воздуха на минимум, после чего выключите установку тумблером "Сеть".

6. Для каждого режима определите по формуле (17.8) коэффициент вязкости воздуха.

7. Найдите среднее значение коэффициента вязкости

8. Оцените погрешность результатов измерения (см. предыдущую работу, формула (16.15)).

Контрольные вопросы

1. Напишите и объясните формулу Ньютона для внутреннего трения.

2. Каков физический смысл коэффициента вязкости? В каких единицах измеряется эта величина?

3. Напишите формулу для коэффициента вязкости идеального газа.

4. В чем заключается капиллярный метод определения коэффициента вязкости газов?

5. Выведите формулу Пуазейля. При каких условиях ее применяют?

6. Как изменяется скорость движения газа по радиусу канала при ламинарном режиме течения?

7. Почему при строительстве магистральных газопроводов используют трубы большого диаметра, а не увеличивают давление газа при его транспортировании?

Используемая литература

[1] §72-78; [3] §10.6-10.8; [10] §16.1; [11] §28.

Лабораторная работа 1-18