Осевые моменты инерции однородных пластинок

Форма пластинки

4.3. Пример выполнения задания

4.3.1. Условие примера

Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4.2, массой =20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью =2 с^-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии ÈAM= от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой =8 кг. В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом Нм. При t=t₁=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону м.

Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и t=t₂=5 с, если R=0,6 м, a=1,2 м; b=0,9 м

4.3.2. Решение примера

Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z

, (4.1)

где - кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;

- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0;t₁].

В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы , , , , , , , (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту , то есть

. (4.2)

Кинетический момент данной системы равен сумме

,

где - кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z.

Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому

.

Здесь - угловая скорость тела, а - его момент инерции относительно оси z.

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)

.

По теореме Штейнера

.

Таким образом

.

Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба

.

Скорость точки К

.

Очевидно, что .

Согласно условию задачи длина дуги окружности , тогда центральный угол . Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО₁ и .

Имеем

.

Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее

(4.3)

Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем

,

откуда

.

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:

.

Тогда

с^-1.

В момент времени t₁ из выражения (4.3) имеем

Нмс.

Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени .

После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z (см. рис. 4.4).

Тогда равенство (4.1) примет вид

,

то есть .

Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t₁ и в конце t₂ отрезка времени [t₁; t₂] равны

.

В момент времени t₂ тело D вращается с угловой скоростью (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол

.

Кинетический момент системы относительно оси в конце t₂ отрезка времени [t₁; t₂] также равен сумме кинетических моментов тела и точки :

.

Очевидно, что

По теореме о сложении скоростей:

,

где , , - абсолютная, относительная и переносная скорости точки.

Умножая обе части этого равенства на m₂, получаем:

.

Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t₂ равен сумме моментов векторов и относительно оси z

Относительная скорость точки К

.

При t=t₂=5 c найдем величину относительной скорости точки К

м/с.

Переносная скорость точки К

.

Из прямоугольного треугольника О₁ОВ по теореме Пифагора имеем:

.

Окончательно получаем

Тогда

Приравнивая и :

,

находим

с^-1.

5. Задание №4. Применение теоремы об изменении
кинетической энергии к изучению движения механической системы

5.1. Содержание задания

Механическая система, изображенная на рис. 5.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости. Массы тел А, В и D ( , , ), заданная нагрузка ( и ) приведены в табл. 5.1. Радиусы колеса В и блока D соответственно равны м, м, м. Радиус инерции колеса В: м. Углы и имеют значения: , . Коэффициент трения качения колеса В равен ; коэффициент трения скольжения тела А равен .

Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние м. Блок D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления движению, трением в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу блока пренебречь.

5.2. Краткие указания к выполнению задания

5.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].

5.2.2. Записать равенство, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

5.2.3. Записать выражения кинетической энергии механической системы в начальном и конечном положениях, как функции искомой скорости тела А.

5.2.4. Определить суммарную работу внешних и внутренних сил на перемещениях их точек приложения при переходе системы из начального положения в конечное и выразить ее в зависимости от перемещения тела А.

5.2.5. Определить скорость и ускорение тела А.

Таблица 5.1

Варианты числовых значений параметров задания №4

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
1.							0,5
						0,4
						0,6
						0,3
						0,7
						0,2
2.							0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
3.							0,6
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
4.							0,4
						0,3
						0,6
						0,7
						0,4
						0,6
5.							0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4

Продолжение табл. 5.1

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
6.							0,3
						0,6
						0,7
						0,6
						0,3
						0,7
7.							0,2
						0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
8.							0,7
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
9.							0,4
						0,3
						0,6
						0,7
						0,4
						0,6
10.							0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4

Продолжение табл. 5.1

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
11.							0,6
						0,7
						0,6
						0,3
						0,7
						0,2
12.						200-	0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,4
13.							0,3
						0,6
						0,7
						0,3
						0,7
						0,2
14.							0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
15.							0,4
						0,6
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8

Продолжение табл. 5.1

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
16.							0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
						0,6
17.							0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4
18.							0,3
						0,6
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
19.							0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4
20.							0,3
						0,6
						0,7
						0,4
						0,6
						0,3

Продолжение табл. 5.1

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
21.							0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4
						0,3
22.							0,6
						0,7
						0,6
						0,3
						0,7
						0,2
23.							0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
24.							0,2
						0,8
						0,5
						0,4
						0,3
						0,6
25.							0,7
						0,6
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8

Окончание табл. 5.1

№ Вар.	№ Подвар.	№ Дан.	, кг	, кг	, кг	M, Hм	F, Н
26.							0,5
						0,4
						0,3
						0,6
						0,7
						0,4
27.							0,6
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8
						0,5
28.							0,4
						0,3
						0,6
						0,7
						0,6
						0,3
29.							0,7
						0,2
						0,8
						0,5
						0,4
						0,3
30.							0,6
						0,7
						0,3
						0,7
						0,2
						0,8

Рис. 5.1
Продолжение рис. 5.1
Продолжение рис. 5.1
Продолжение рис. 5.1
Окончание рис. 5.1

5.3 Пример выполнения задания

5.3.1. Условие примера

Рассматривается движение механической системы, изображенной на рис. 5.2. Даны следующие значения параметров: кг, кг, кг, Н, Нм,
м, м, м, м, , , , м, м, м/с².

Определить скорость и ускорение тела А.

5.3.2. Решение примера

Равенство, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы, имеет вид

, (5.1)

где и - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях,

и - суммарные работы внутренних и внешних сил, приложенных к системе, при ее переходе из первого положения во второе.

На рис. 5.3 условно изображены начальное и конечное положения данной системы.

Согласно условию задачи система начинает движение из состояния покоя, поэтому .

Кроме того, поскольку тела, образующие систему, абсолютно твердые и трос не растягивается, то .

Таким образом, равенство (5.1) запишется

. (5.2)

Кинетическая энергия системы равна

Груз А движется поступательно со скоростью , поэтому

(5.3)

Шкив С вращается с угловой скоростью , следовательно,

(5.4)

Момент инерции шкива С относительно оси, проходящей через точку О₁, определяется по формуле:

(5.5)

Угловая скорость шкива С равна

. (5.6)

Подставляя выражения (5.5) и (5.6) в равенство (5.4), получаем:

. (5.7)

Кинетическую энергию колеса В, совершающего плоское движение, находим по формуле:

. (5.8)

Здесь - линейная скорость центра О масс колеса В,

- мгновенная угловая скорость колеса В,

- момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через центр О.

На рисунке 5.3 буквой обозначен мгновенный центр скоростей колеса В. Очевидно, что мгновенная угловая скорость колеса В

.

Но для нормальной работы системы скорости , а , тогда

. (5.9)

Скорость центра О колеса В равна

. (5.10)

Момент инерции колеса В равен

. (5.11)

После подстановки выражений (5.9) и (5.10) в формулу (5.8), получаем:

. (5.12)

Далее, суммируя выражения (5.3),(5.7) и (5.12), окончательно имеем

. (5.13)

Внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему, показаны на рисунке 5.3. Причем сила трения скольжения действующая на тело А имеет максимальное значение, которое находится по формуле Кулона:

. (5.14)

Здесь - нормальная реакция плоскости находится по формуле

. (5.15)

Суммарная работа внешних сил действующих на рассматриваемую механическую систему равна

(5.16)

Работа силы тяжести тела А:

. (5.17)

Работа максимальной силы трения скольжения тела А:

.

С учетом равенств (5.14) и (5.15), последнее выражение примет вид

. (5.18)

Работа нормальной реакции :

, (5.19)

так как .

Точки приложения сил и не перемещаются, поэтому

. (5.20)

Работа силы тяжести колеса В:

. (5.21)

Работа постоянной силы :

. (5.22)

Работа постоянного момента :

. (5.23)

Работа нормальной реакции наклонной плоскости:

, (5.24)

так как эта сила перпендикулярна вектору перемещения ее точки приложения.

Сила трения скольжения колеса В приложена в мгновенном центре скоростей колеса В, поэтому:

. (5.25)

Работа максимально момента трения качении :

. (5.26)

Величина максимального момента трения качения дается формулой

. (5.27)

Для определения зависимостей перемещения центра О и угла поворота колеса В от перемещения тела А умножим обе части выражений (5.9), (5.10) на . Имеем

, .

Или

, .

Интегрируя обе части последних двух уравнений, получаем

, . (5.28)

Подставляя выражения (5.17)-(5.26) в сумму (5.16), с учетом формул (5.27), (5.28), имеем

(5.29)

Тогда равенство (5.2) с учетом выражений (5.13) и (5.29) примет вид

<

Наши рекомендации