Моменты инерции однородных тел

Однородный стержень

Имеем однородный стержень длиной Моменты инерции однородных тел - student2.ru и массой Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Направим по стержню ось Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Вычислим момент инерции стержня относительно оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru , проходящей перпендикулярно стержню через его конец:

Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (146)

Момент инерции стержня относительно оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru , проходящей через центр масс и параллельной оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru , определяется по теореме Штейнера:

Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (147)

Прямоугольная пластина

Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru и массу Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Выберем точку Моменты инерции однородных тел - student2.ru на середине стороны длиной Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru расположим в плоскости пластины, параллельно сторонам длиной Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru соответственно, а ось Моменты инерции однородных тел - student2.ru направим перпендикулярно плоскости.

Моменты инерции пластины относительно осей координат равны:

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (148)

Сплошной диск

Имеем тонкий однородный диск радиусом Моменты инерции однородных тел - student2.ru и массой Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Оси координат Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru расположены в плоскости диска. Момент его инерции Моменты инерции однородных тел - student2.ru относительно центра диска Моменты инерции однородных тел - student2.ru совпадает с моментом инерции Моменты инерции однородных тел - student2.ru относительно координатной оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru , перпендикулярной плоскости диска.

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (149)

Тонкое кольцо (круглое колесо)

Имеем тонкое кольцо радиусом Моменты инерции однородных тел - student2.ru и массой Моменты инерции однородных тел - student2.ru , распределенной по его ободу. Оси координат Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru расположим в плоскости кольца. Момент инерции Моменты инерции однородных тел - student2.ru относительно его центра Моменты инерции однородных тел - student2.ru совпадает с моментом инерции Моменты инерции однородных тел - student2.ru относительно координатной оси Моменты инерции однородных тел - student2.ru , перпендикулярной плоскости кольца.

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (150)

Круглый цилиндр

Для круглого однородного цилиндра, масса которого Моменты инерции однородных тел - student2.ru , радиус Моменты инерции однородных тел - student2.ru и длина Моменты инерции однородных тел - student2.ru , его моменты инерции относительно продольной оси симметрии Моменты инерции однородных тел - student2.ru и относительно его поперечной оси симметрии Моменты инерции однородных тел - student2.ru равны:

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (151)

Шар

Пусть масса шара Моменты инерции однородных тел - student2.ru , радиус Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Моменты инерции шара относительно осей координат и центра шара Моменты инерции однородных тел - student2.ru равны:

Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (152)

Теоремы динамики

Внешними силами механической системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему.

Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.

Внешнюю силу, приложенную к какой-либо точке системы, обозначим Моменты инерции однородных тел - student2.ru , а внутреннюю – Моменты инерции однородных тел - student2.ru . Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.

Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при любом состоянии системы, т. е. при ее равновесии и при произвольном движении.

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , Моменты инерции однородных тел - student2.ru . (153)

Если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например Моменты инерции однородных тел - student2.ru и Моменты инерции однородных тел - student2.ru , то для них Моменты инерции однородных тел - student2.ru , так как силы действия и противодействия всегда равны друг другу по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой линии, соединяющей взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил Моменты инерции однородных тел - student2.ru состоит из векторной суммы таких сил действия и противодействия, так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек. Следовательно, он равен нулю. Так как обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов, их главный вектор равен нулю. Главный момент внутренних сил Моменты инерции однородных тел - student2.ru состоит из векторной суммы таких выражений, равных нулю.

Пусть даны внешние и внутренние силы, действующие на систему, состоящую из Моменты инерции однородных тел - student2.ru точек. Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил Моменты инерции однородных тел - student2.ru и равнодействующую силу всех внутренних сил Моменты инерции однородных тел - student2.ru то для любой Моменты инерции однородных тел - student2.ru -й точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения, например, в векторной форме, т. е.

Моменты инерции однородных тел - student2.ru , ( Моменты инерции однородных тел - student2.ru ). (154)

Систему Моменты инерции однородных тел - student2.ru дифференциальных уравнений (154) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроецировать векторные дифференциальные уравнения (154) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему Моменты инерции однородных тел - student2.ru дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы.

Наши рекомендации