Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции

Пусть заданы моменты инерции Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . Требуется найти Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , относительно осей, повернутых к заданным на угол Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru (рис. 4.5).

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Рис. 4.5

Выберем произвольную площадку Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и выразим ее координаты в новых осях Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru через старые Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

Проектируем замкнутый четырехугольник Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru на оси Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

В выражениях исключаем Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru тогда

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru ,

откуда

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru (4.5)

Рассмотрим первые два уравнения из 4.5, складывая их почленно, получим:

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной. Заметим, что Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , где Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru — расстояние от элементарной площадки до точки 0.

Таким образом

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , (4.6)

где Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru — полярный момент инерции.

При помощи выражения 4.6 легко найти осевые моменты инерции для круга.

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

С изменением Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru каждая из величин Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru меняется, а сумма их остается постоянной. Следовательно, существует такой угол Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , при котором один из элементов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя первое выражение из 4.5 по Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , и приравнивая производную нулю, найдем

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru (4.7)

При этом значение Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru один из осевых моментов достигает максимального значения, другой - минимального, а центробежный равен 0.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями.

Найдем величины главных моментов инерции. Для этого первые две формулы из 4.5 приведем к виду

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

Учитывая, что

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru ,

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

Исключаем при помощи 4.7 угол Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , получим для определения значений главных моментов инерции.

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . (4.8)

Глава 5. ИЗГИБ

Основные понятия

Под изгибом понимается такой вид нагружения стержня, когда в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым. Большей частью в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным. В дальнейшем встретимся с более сложными видами изгиба.

Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. Кроме балок на изгиб работают элементы рам. Рамой называется конструкция, состоящая из стержней, элементы которой работают преимущественно на изгиб.

Ранее мы уже познакомились с внутренними силовыми факторами Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , возникающими при изгибе, и строили их эпюры. Теперь перейдем к исследованию напряжений, возникающих при изгибе.

5.2. Дифференциальные зависимости между Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Изгибающий момент Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , поперечная сила Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru и интенсивность внешней нагрузки Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru связаны между собой определенной зависимостью. Вырежем из балки, загруженной распределенной нагрузкой Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru , изменяющейся по какому—либо закону (рис. 5.1,а), элемент длиной Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru (рис. 5.1,б).

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru

Рис. 5.1

Нагрузку считают положительной, если она направлена вверх; на протяжении длины Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru ее считают равномерно распределенной.

Составим два уравнения равновесия элемента:

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru .

В первом уравнении произведением Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru как величиной второго порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми можно пренебречь.

После элементарных преобразований из приведенных выше уравнений находим

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . (5.1)

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . (5.2)

Из двух полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:

Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции - student2.ru . (5.3)

Зависимости (5.1) и (5.2) часто используются при проверке правильности построения эпюр моментов и поперечных сил.

Наши рекомендации